Đề giao lưu HSG Toán 7 lần 7 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Nông Cống - Thanh Hóa

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN NÔNG CỐNG

GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM LẦN 7

Năm học 2023 - 2024

Môn: Toán 7 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1.(4.0 điểm).

1. Tính giá trị của các biểu thức sau (tính hợp lý nếu có thể)

a) 2 2 0 1 1 25 (2 .3) .( ) 2024 4 4 A − = + + + −

b) 1.2.3 2.4.6 4.8.12 7.14.21 1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35 B + + + = + + +

c) 2 5 6 7 5 6 7 2 a b c d C b c d a = + + + , biết 2 5 6 7 5 6 7 2 a b c d b c d a = = = và , , , 0 a b c d ≠

Câu 2. (4.0 điểm)

a) Tìm x, biết

( )

2 8 2 3 2 1 5 1 2 x x x + + − = + +

b) Bốn bao gạo có tổng cộng 375kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở bao thứ nhất;

2kg ở bao thứ hai; 3kg ở bao thứ ba; 4kg ở bao thứ tư. Lần thứ hai người ta lấy đi tiếp 1 5

số kg gạo còn lại của bao thứ nhất; 1 4 số kg gạo còn lại của bao thứ hai; 1 3 số kg gạo còn

lại của bao thứ ba; 1 2 số kg gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy

thứ hai của bốn bao bằng nhau. Tìm số kg gạo mỗi bao lúc đầu. Câu 3.(4.0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn: 2 4 x y xy + − =

b) Tìm số nguyên tố ab ( ) 0 a b > > , biết ab ba − là số chính phương.

Câu 4.(6.0 điểm)Cho ABC ∆ có ba góc nhọn, AB AC < , trung tuyến . AM Trên nửa mặt phẳng bờ ABchứa điểm , C vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với ABvà . AE AB = Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và . AD AC = 1. Chứng minh: BD=CE 2. Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho . MN MA = Chứng minh:   0 180 . ACN BAC = − và . ADE CAN ∆ = ∆ 3. Gọi giao điểm của DE với AB, AC lần lượt là Q, P. Chứng minh: AP < AQ Câu 5.(2 điểm) Cho P =

4034 1 ... 4 1 3 1 2 1 1 + + + + + và Q =

4033 1 ... 7 1 5 1 3 1 1 + + + + +

Chứng tỏ rằng: 2018 2017 1 < Q P

……………………..Hết……………………

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN: TOÁN - LỚP 7

Câu ĐÁP ÁN Điểm 1(4 điểm)

a) 2 2 0 1 1 25 (2 .3) .( ) 2024 4 4 A − = + + + −

4 2 2 1 1 5 2 .3 . 1 2 4 1 5 36 1 4 119 4

−   = + + +    

= − + +

− =

0,5

0,5

b) 1.2.3 2.4.6 4.8.12 7.14.21 1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35 B + + + = + + +

1.2.3(1 2.2.2 4.4.4 7.7.7) 1.3.5.(1 2.2.2 4.4.4 7.7.7) 1.2.3 1.3.5 2 5

+ + + = + + +

=

=

0,5

0,5

c) 2 5 6 7 5 6 7 2 a b c d C b c d a = + + + , biết 2 5 6 7 5 6 7 2 a b c d b c d a = = = và , , , 0 a b c d ≠

Đặt 2 5 6 7 5 6 7 2 a b c d b c d a = = = = k 4 2 5 6 7 . . . 5 6 7 2 a b c d k b c d a ⇒ = 1 k ⇒ = ± 4 C ⇒ = ±

1,0

2.(4 điểm)

a) Tìm x, biết

( )

2 8 2 3 2 1 5 1 2 x x x + + − = + +

Ta có 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 1 2 4 4 x x x x x x + + − = + + − ≥ + + − = = với mọi x

Dấu ‘=’ xảy ra khi 3 1 (2 3)(1 2 ) 0 2 2 x x x − + − ≥ ⇒ ≤ ≤

Lại có 2 2 8 8 5( 1) 2 2 4 5( 1) 2 2 x x + + ≥ ⇒ ≤ = + + với mọi x

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = -1

Do đó

( )

2

3 1 8 2 3 2 1 1 2 2 5 1 2 1

x x x x x x

−  ≤ ≤  + + − = ⇒ ⇒ = −  + +  = − 

Vậy x = -1

0,5

0,5

0,5

0,5

b) Bốn bao gạo có tổng cộng 375kg. Lần thứ nhất người ta lấy đi 1kg ở bao thứ nhất; 2kg ở bao thứ hai; 3kg ở bao thứ ba; 4kg ở bao thứ tư. Lần

thứ hai người ta lấy đi tiếp 1 5 số kg gạo còn lại của bao thứ nhất; 1 4 số kg

gạo còn lại của bao thứ hai; 1 3 số kg gạo còn lại của bao thứ ba; 1 2 số kg

gạo còn lại của bao thứ tư thì số kg gạo còn lại sau lần lấy thứ hai của bốn