Đề khảo sát HSG Toán 7 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Ninh Giang - Hải Dương

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Ngày khảo sát: 27/01/2024

ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2023 - 2024

Môn: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu 1. (2.0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức :

13 13

12 4 3 .10 3 .6 3 .2 +

b) Rút gọn biểu thức: A= 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 100       − − − −            

c) Chứng minh rằng 8 10 12 10 10 4 .3 5.2 .3 6 .16 + − chia hết cho 17 Câu 2. (2.0 điểm) 1. Tìm x biết:

a) 1 1 2 3 4 1 3 2 x x x     + − − = −        

b) ( )

3 2 1 27 3 2 1 x x − = −

2. Tìm x, y thỏa mãn: ( ) 2024 2023 1 0 x y y − + − = Câu 3. (2.0 điểm)

a) Tìm x,y nguyên biết ( ) 2 2 25 8 15 y x − = −

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a, b thì ( )( ) 2 2 1 2 ab a b − +

chia hết cho 9. Câu 4. (3.0 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm E sao cho tam giác ABE vuông cân tại B. Kẻ EM vuông góc với đường thẳng BC tại M. a) Chứng minh BH = EM b) Trên tia đối của tia AH lấy điểm F sao cho AF = BC. Chứng minh BF vuông góc với CE. 2. Cho tam giác ABC có góc BAC = 60o. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại E, tia phân giác của góc ACB cắt AB tại F. BE cắt CF tại I. Chứng minh IE = IF Câu 5. (1 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho 1 a + chia hết cho 2 ; a chia hết cho tích của hai số nguyên tố liên tiếp và tích 2023a là số chính phương.

……… Hết……… *Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Họ và tên thí sinh: ……………………………. Số BD…………

Giám thị…………………………………………………………..

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đợt I Ngày 27 tháng 01 năm 2024

KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH GIỎI

Môn Toán lớp 7 Năm học 2023-2024 ( Thời gian làm bài 150 phút )

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm Câu 1 (2 điểm)

a) ( ) 13 13 13

12 4 12 4 3 . 10 6 3 .10 3 .6 3 .2 3 .2

+ + = 0,25

13 4

12 4 3 .2 3 3 .2 = = 0,25

b) 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 100 A       = − − − −            

1 2 3 4 99 . . . ..... 2 3 4 5 100 =

0,5

1.2.3.....99 1 2.3.4....100 100 = = 0,25

c)

( ) ( )

8 10 12 10 10

8 10 2 10 12 10 4 4 .3 5.2 .3 6 .16

2 .3 5.2 .3 2.3 .2

+ −

= + −

0,25

16 10 12 10 14 10 2 .3 5.2 .3 2 .3 = + − ( ) 12 4 2 2 . 2 5 2 = + −

0,25

12 2 .17 17 =  0,25

Câu 2 (2 điểm)

a) 1 1 2 3 4 1 3 2 x x x     + − − = −        

2 3 2 3 4 1 3 2 x x x + − + = −

0,25 2 3 5 4 1 3 2 x x − = −− +

1 6 x − =

0,25

b) ( )

3 2 1 27 3 2 1

x

x

− = −

( ) 4 2 1 81 x − =

0,25

2 1 3

2 1 3

x

x

−=  ⇒ −= − 

2

1

x

x

=  ⇒= − 

Học sinh thiếu 1 trường hợp trừ 0,25đ

0,25

2) ( ) 2024 2023 1 0 x y y − + − =

Vì

( ) 2024 2023 0 ,

1 0

x y x y

y y

 − ≥ ∀  − ≥ ∀ 

0,25

( ) 2024 2023 1 0 , x y y x y ⇒ − + − ≥ ∀

Dấu bằng xảy ra khi

( ) 2024 2023 0

1 0

x y

y

 − =  − = 

0,25 0,25

2023 0 2023

1 0 1

x y x

y y

− = =   ⇒ ⇒   −= =  

Học sinh không lập luận mà chỉ xét bằng 0 thì trừ 0,25đ

0,25

Câu 3

a) ( ) 2 2 25 8 15 y x − = −

Vì ( ) 2 2 25 25 8 15 25 y y x − ≤ ∀⇒ − ≤

0,25

( )

2 25 15 8 x ⇒ − ≤ . Vì ( ) 2 15 x − là scp ( ) { } 2 15 0, 1 x ⇒ − ∈ 0,25

TH1: ( ) 2 2 5 15 0 25 0 5

y x y y

=  − = ⇒ − = ⇒ = − 

( ) 2 15 0 15 0 15 x x x − = ⇒ − = ⇒ =

0,25 TH2:( ) 2 2 2 15 1 25 8 17 x y y − = ⇒ − = ⇒ = (Loại vì 17 ko là scp)

Vậy ( ) ( ) { } ( , ) 15,5 ; 15, 5 x y ∈ −

Không kết luận hoặc kết luận không theo cặp số trừ 0,25đ

0,25

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a, b thì

( )( ) 2 2 1 2 ab a b − + chia hết cho 9

Nếu a chia hết cho 3 thì ( ) 2 1 a a − chia hết cho 3

0,25 Nếu a không chia hết cho 3 thì 2 a chia 3 dưa 1 nên ( ) 2 1 a a − chia hết

cho 3. Vậy ( ) 2 1 a a − luôn chia hết cho 3 với mọi a

0,25