Đề thi Olympic Toán 7 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Thanh Oai - Hà Nội

PHÒNG GDĐT THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC LỚP 6, 7, 8

Năm học 2023 - 2024

Môn: Toán – Lớp: 7

Ngày thi: 02 tháng 4 năm 2024

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Câu 1. (5 điểm) 1. Tính giá trị biểu thức sau:

a) (1.2 2.3 3.4 ... 19.20)( 169 2)( 169 3)( 169 4)...( 169 20) A         

b)

15 9 20 9

10 19 29 6 5.4 .9 4.3 .8 5.2 .6 7.2 .27 B   

2. Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: 5 4 3

z y x   và 100 3 2 2 2 2 2     z y x .

Câu 2. (4 điểm) 1. Có hai chiếc hộp giống nhau. Trong mỗi hộp chứa 4 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4 (hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên một thẻ ở trong mỗi hộp. Tính xác suất để rút được hai thẻ ghi số giống nhau trong cùng một lần rút?

2. Cho các số x, y thỏa mãn

2023 2024 3 (3 1) 0 x y     .

Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 9 M x y xy  

Câu 3. (4 điểm) 1. Tìm số nguyên ,x y biết 2 3 xy x y   

2. Cho , , x y z là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2 x y z xyz    . Chứng minh 24 xyz

Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC, có D là trung điểm BC. Trên đoạn BD lấy E (khác B, D), trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Kẻ các đường thẳng vuông góc với BC tại E cắt AB tại G, đường vuông góc với BC tại F cắt AC tại H. Gọi giao điểm của GH với BC là I a) Chứng minh BG = CH, IG = IH b) Kẻ đường thẳng vuông góc với CA tại C, cắt AD tại M. Chứng minh MI vuông góc với GH c) Đường thẳng vuông góc với DG tại D cắt AC tại K, chứng minh rằng:

AK + AG ≤ DG + DK Câu 5. (1 điểm) Tìm số tự nhiên m, n sao cho 2 3 4 n m   là số chính phương - Hết - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không sử dụng máy tính. Họ và tên: ……………………………………………………. Số báo danh: ………… Học sinh Trường THCS: ………………………………………………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Câu Nội dung Điểm 1 1. Do 169 13 0   nên A = 0 1 1

2

2

2.     

  

15 9 9 2 2 2 20 3 15 9 20 9

6 10 19 29 6 19 10 29 3 5. 2 . 3 2 .3 . 2 5.4 .9 4.3 .8 5.2 .6 7.2 .27 5.2 . 2.3 7.2 . 3 B

     

1

   

29 18 2 30 18 29 20

29 19 29 18 29 18 2 .3 5.2 3 5.2 .3 2 .3 1 5.2 .3 7.2 .3 2 .3 5.3 7 8

       . 1

3. Từ 5 4 3

z y x   ta suy ra:

4 25 100 25

3 2 2 75 3 32 2 18 2 25 16 9

2 2 2 2 2 2 2 2 2

    

        z y x z y x z y x

Suy ra:

2

2

2

36

64

100

6 8 10

6

8 10

x

y

z

x

y x

x

y z

       

            

  

        

( Vì x, y, z cùng dấu)

KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)

0,5

0,5

0,5

0,5 2 1. Có tất cả 4.4= 16 khả năng xảy ra. Gọi A là biến cố: “Rút được hai thẻ ghi số giống nhau trong cùng 1 lần rút” Các khả năng để biến cố A xảy ra là: 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 : có 4 khả năng

Xác suất để biến cố A xảy ra là: 4 1 16 4 

0,5

0,5

0,5

1,5

2,5

2. Theo đề bài:

2023 2024 3 (3 1) 0 x y    

Vì |x – 3|2023  0; (3y – 1) 2024  0 với mọi x, y nên |x – 3|2023 + (3y – 1) 2024  0 với mọi x, y.

Mà theo đề bài:

2023 2024 3 (3 1) 0 x y    

Suy ra |x – 3|2023 + (3y – 1) 2024 = 0

Hay: x - 3 = 0 và 3y – 1 = 0 suy ra x = 3, y = 1

3 . Khi đó tính

được: 2 2 2 9 9 M x y xy    .

0.5

0,5

1

0,5