Đề khảo sát HSG Toán 6 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Ninh Giang - Hải Dương

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Ngày khảo sát: 27/01/2024

ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2023 - 2024

Môn: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu 1 (3 điểm) 1)Tính giá trị các biểu thức sau: a) { } 3 3 2 1800: 450: 450 (4.5 2 .5 ) A   = − −   b) ( ) ( ) ( ) 17 2 15 15 4 2 2 17 . 9 3 . 2 4 B = + − −

2) Chứng tỏ rằng: ( ) 2021 2020 2 75. 4 4 .... 4 4 1 25 M = + + + + + + chia hết cho 100.

Câu 2 (2 điểm)

1) Tìm x biết: a) 2 30 2(3 1) 12 x − − =

b)

2 2.3 3 99 x x+ + =

2) Tìm số tự nhiên a, b biết a – b = 84, (a, b) = 28 và 300 < a, b < 400.

Câu 3 (2 điểm)

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn xy − 3x + y = 5.

2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.

Câu 4 (2 điểm) Người ta mở rộng một cái ao hình vuông để được một cái ao hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Sau khi mở rộng, diện tích ao tăng thêm 600m2 và diện tích ao mới gấp 4 lần ao cũ.

1) Tính diện tích ao sau khi đã mở rộng. 2) Người ta phải dùng cọc để làm hàng rào xung quanh ao mới, biết rằng cọc nọ cách cọc kia 1m và ở một góc ao người ta để lối lên xuống rộng 2m. Hỏi người ta phải dùng bao nhiêu chiếc cọc để đủ rào xung quanh ao mới?

2 600m ao cũ

Câu 5 (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để: A = 2n + 3n + 4n là một số chính phương.

……… Hết………

(Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)

Họ và tên thí sinh: ……………………………. Số BD…………

Giám thị……………………………………………………………..

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Điểm a)Tính : A = 1800:{450:[450-(4.53-23.52)]} 1 điểm Câu 1: ( 3 điểm)

A = 1800:{450:[450-(4.53-23.52)]} = 1800 : { 450: [ 450 – (4 . 125 – 8 . 25)]} = 1800 : { 450:[450 – 300]} = 1800 : { 450 : 150} = 1800 : 3 =600

0,25 0,25 0,25 0,25 b) ( ) ( ) ( ) 17 2 15 15 4 2 2 17 . 9 3 . 2 4 B = + − − 1 điểm

( ) ( ) ( ) 17 2 15 15 4 2 2 17 . 9 3 . 2 4 B = + − −

B=( ) ( ) ( ) 17 2 15 15 2 17 . 9 3 . 16 16 + − −

B=( ) ( ) 17 2 15 15 2 17 . 9 3 .0 + −

B=0

0,5 0.25

0,25 2. Chứng tỏ rằng ( ) 2021 2020 2 75. 4 4 .... 4 4 1 25 M = + + + + + + chia hết

cho 100.

1 điểm

Đặt 2021 2020 2 4 4 ... 4 4 1 75. 25 S M S = + + + + + ⇒ = + 0,25 Ta có 2021 2020 2 2022 2021 3 2 4 4 ... 4 4 1 4 4 4 ... 4 4 4 S S = + + + + + ⇒ = + + + + +

=>

2022 2022 4 1 4 4 1 3 S S S − − = −⇔ = .

0,25

Do đó

( )

2022 2022 2022 2021 4 1 75. 25 75. 25 25. 4 1 25 25.4 100.4 3 M S − = + = + = − + = =

Suy ra 100 M 

0,5

Tìm x biết: a) 2 30 2(3 1) 12 x − − = 0,75 điểm

Câu 2: ( 2 điểm)

2

2

2

2

30 2(3 1) 12

2.(3 1) 30 12

2.(3 1) 18

(3 1) 9

x

x

x

x

− − =

− = −

− =

− =

0,25

4 3 1 3 3 4 3 3 1 3 3 2 2 3

x x x

x x x

=  −= =   ⇒ ⇒   −= − = − −   = 

0,25

0,25

b) Tìm x biết:

2 2.3 3 99 x x+ + = 0,75 điểm

2 2.3 3 .3 99 x x + =

2 3 (2 3 ) 99 x + =

0,25

3 .11 99

3 9

2

x

x

x

=

=

=

0,25

0,25

1)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn xy − 3x + y = 5. ( 1 điểm) Câu 3 xy − 3x + y = 5 ⇒x.(y−3)+(y−3)=2 0,25

⇒ (x+1).(y−3)=2. Vì x, y là số nguyên nên x+1 và y-3 cũng là số nguyên, ta có bảng sau :

0,25

x+1 - 2 - 1 1 2

x - 3 - 2 0 1

y−3 - 1 - 2 2 1

y 2 1 5 4

0,25

Vậy cặp (x,y) là (-3;2); (-2;1); (0;5); (1;4) 0,25 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.

( 1 điểm)

2) Ta chứng minh ( ) 1 ( 1) 24 p p − + 

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên 3 p / và 2 p / Có 2 p / nên 1 p − và 1 p + là hai số chẵn liên tiếp

→( 1).( 1) 8 p p − +  (1)

0,25

0,25

Mặt khác: 3 p / → p có thể có 1 trong 2 dạng là 3 1 p k = + hoặc

3 2 p k = + ( * k ∈) Nếu 3 1 p k = + → 1 3 p −→( ) 1 ( 1) 3 p p − + 

Nếu 3 2 p k = + → 1 3 p + →( ) 1 ( 1) 3 p p − + 

⇒( ) 1 ( 1) 3 p p − +  (2)

0,25

Từ (1) và (2) mà (3,8)=1 suy ra (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. 0,25 Câu 4 Hình vẽ :

Ta có sơ đồ sau:

1 điểm