Bài toán tương giao trong không gian Oxyz

Giáo viên soạn

Lê Thảo-THPT Nguyễn Thị Minh Khai- Hà Nội

Bùi Sỹ Khanh- THPT Trần Cao Vân- TP. HCM

Các bài toán trong không gian Oxyz không còn xa lạ với học sinh và xuất hiện nhiều trong những đề thi gần

đây với nhiều câu hỏi ở các mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để đồng hành cùng các em trong kỳ thi THPT sắp

tới hy vọng bài viết này sẽ giúp các em có hướng tiếp cận và giải quyết các bài toán đó một cách dễ dàng nhất.

I.

Trong không gian , Oxyz cho mặt phẳng      : Ax z 0 P By C D và mặt cầu

            2 2 2 2 : S x a y b z c R có tâm   ; ; I a b c và bán kính R khi đó :

+) Nếu  ( ; ) d I P R thì mặt cầu( ) S và  P không có điểm chung.

+) Nếu ( ;( )) d I P R  thì mặt cầu( ) S và ( ) P có điểm chung duy nhất là H (mặt phẳng tiếp xúc

với mặt cầu tại H )và ( ). IH P 

+) Nếu  ( ; ) d I P R thì mặt cầu( ) S và cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến là đường tròn tâm H

bán kính r ta có :

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P và     2 2 2

( ; ) ( ) I P r IH R d IH

- Cho điểm M nằm trong mặt cầu  S mặt phẳng  P đi qua M cắt  S theo giao tuyến là đường

tròn có bán kính r nhỏ nhất    IM P

- Cho điểm M nằm trong mặt cầu  S mặt phẳng  P đi qua M cắt  S theo giao tuyến là đường

tròn có bán kính r lớn nhất  P đi qua 2 điểm I và . M

Trong không gian , Oxyz đường thẳng  và mặt cầu  S có tâm I và bán kính R khi đó :

+) Nếu  ( ; ) d I R thì mặt cầu( ) S và không có điểm chung.

+) Nếu  ( ; ) d I R thì mặt cầu( ) S và  có điểm chung duy nhất là H khi đó . IH

+) Nếu  ( ; ) d I R thì mặt cầu( ) S và cắt đường thẳng  tại hai điểm , A B ta có một số kết quả

sau :

- Gọi H là trung điểm   AB IH và     

2 2 2 ( ; ) ( ; ) ( ) 4 I I AB d R d IH

- Cho điểm M khi đó đường thẳng đi qua M cắt  S tại hai điểm , A B sao cho độ dài

AB lớn nhất là đường thẳng đi qua 2 điểm M và I

- Cho điểm M nằm trong mặt cầu  S đường thẳng đi qua M cắt  S tại hai điểm , A B sao cho

độ dài AB nhỏ nhất là đường thẳng đi qua M và vuông góc . IM

Chứng minh

Ta có       

2 2 2 2 2 ( ; ) ( ; ) 2 4 I I AB d R AB R d

Vì HIM vuông tại H nên ta có   0 IH IM

+) AB lớn nhất     ( ; ) 0 I d qua 2 điểm I và . M

+) AB nhỏ nhất     ( ; ) I d IM vuông góc . IM

II.

Ví dụ 1. (Đề minh họa lần 1 năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S có tâm   2;1;1 I

và mặt phẳng     : 2 2 2 0 P x y z . Biết mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là một

đường tròn có bán kính bằng1 . Viết phương trình của mặt cầu  S

A.             2 2 2 : 2 1 1 8 S x y z B.             2 2 2 : 2 1 1 10 S x y z

C.             2 2 2 : 2 1 1 8 S x y z D.             2 2 2 : 2 1 1 10 S x y z

Khi viết phương trình mặt cầu thì hai yếu tố cần thiết là tâm I và bán kính , R khi bài toán cho tâm I

thì việc tìm bán kính R dựa vào các yếu tố cắt hay tiếp xúc để tính R

+) Nếu  S tiếp xúc       ; I P P R d

+) Nếu  S cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến là đường tròn bán kính r ta có      2 2

; I P R r d

+) Nếu  S tiếp xúc     ; I d d R d

+) Nếu  S cắt đường thẳng d tại hai điểm , A B ta có    

2

2

; 4 I d AB R d

Gọi , R r lần lượt là bán kính của mặt cầu  S và đường tròn giao tuyến

Ta có     

                      

2 2 2 2

2 2 2.2 1.1 2.1 2 , 1 10 2 1 2 R r d I P

Mặt cầu  S tâm   2;1;1 I bán kính  10 R là             2 2 2 2 1 1 10 x y z .