Bài giảng hệ tọa độ trong không gian

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững định nghĩa hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian, các khái niệm về tọa độ điểm, tọa

độ vectơ.

+ Nắm vững biểu thức tọa độ các phép toán vectơ và các tính chất.

+ Nắm vững biểu thức tọa độ của tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ và các ứng dụng.

+ Nắm vững được phương trình mặt cầu, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu.

 Kĩ năng

+ Biết tìm tọa độ của một điểm, một vectơ. Tính được tổng, hiệu các vectơ, tích của vectơ với

một số.

+ Tính được tích vô hướng của hai vectơ và các ứng dụng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách

giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ;...

+ Xác định được tích có hướng của hai vectơ và vận dụng làm được một số bài toán

+ Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hệ tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục

x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một.

Gọi , , i j k 

lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.

2. Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz, cho vectơ u



. Khi đó

  u x;y;z u xi yj zk.          

Chú ý:

1)   0 0;0;0 .  

2)

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

         

 

3) a



cùng phương  

1 1

2 2

3 3

a kb

a k b b 0 b

a kb

      

 



 

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ     1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ; a a a a b b b b    

và k là số thực tùy ý.

Khi đó ta có:

   1 1 2 2 3 3 ; ; . a b a b a b a b       

   1 1 2 2 3 3 ; ; . a b a b a b a b       

   1 2 3 . ; ; k a ka ka ka  

   1 1 2 2 3 3 . . . . . a b a b a b a b    

Ứng dụng của tích vô hướng:

 1 1 2 2 3 3 a .b a a b a.b 0 .b a .b 0          



2 2 2 2 1 2 3 a a.a a a a .      



2 2 2 2 1 2 3 a a a a a .      

TOANMATH.com Trang 3

  

1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 1 2

3 3

3 1 2 3

a b a b a a.b cos a;b

a . b a a . b b

b

a b

  





  

 

 

Với a 0,b 0.     

3. Tọa độ của một điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý.

Khi đó M x; y;z OM ( xi yj zk ) .        

Tính chất

 Nếu     A A A B B B A x ; y ;y và B x ;y ;y thì

  B A B A C A AB x x ; y y ;z z .    

Khi đó       2 B A B

2 2 B A A AB AB x x y y z z .        

 Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A B A B A B x x y y z z ; ; . I 2 2 2         

 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

C C A B A A C B B x x y y z z ; ; . 3 3 x y

3

z G        





 

 Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là

A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G ; ; 4 4 4               

4. Tích có hướng của hai vectơ

Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ   1 2 3 b b ;b ;b .  

Tích có hướng của hai vectơ a và b

 

là một vectơ

vuông góc với cả hai vectơ a và b

 

, kí hiệu là a ,b     

và được xác định như sau:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a a ,b ; ; b b b b b b

        



  2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 a a b ;a b a b b a b ; b a .    

Tính chất

 a



cùng phương với a b 0. b ,     

  

 a ,b     

vuông góc với cả hai vectơ a và b

 

.

 b,a a ,b .           

Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M

(x; y; z) ta có các khẳng định sau:

   0; 0 . 0; M O M  

   M Oxy z 0    , tức là   M x;y;0 .

   M Oyz x 0    , tức là   M 0; y;z .

   M Oxz y 0    , tức là   M x;0;z .

 M Ox y z 0     , tức là   M x;0;0 .

 M Oy x z 0     , tức là   M 0; y;0 .

 M Oz x y 0     , tức là   M 0;0;z .