Bài toán viết phương trình mặt phẳng

CHỦ ĐỀ 15: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến

Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay gặp:

 ( ) P đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến ; P n AB AC   =    

 ( ) P đi qua điểm A và song song với ( ) Q thì ta chọn cho P Q n n =  

 ( ) P vuông góc với hai mặt phăng phân biệt ( ),( ) α β thì ; P P

P

n n n n n n n

 ⊥    → =    ⊥ 

      α α β

β

 ( ) P song song với hai véc tơ ;a b 

thì ; P P

P

n a n a b n b

 ⊥    → =    ⊥ 

     

 ( ) P đi qua điểm A,B và vuông góc với ( ) α thì ; P P

P

n AB n AB n n n

 ⊥    → =    ⊥ 

      α

α

 ( ) P song song với hai đường thẳng 1 2 ; d d thì

1 1 2

2 ; P d P d d

P d

n u n u u n u

 ⊥    → =    ⊥ 

     

 ( ) P chứa đường thẳng d và vuông góc mặt phẳng ( ) α thì ; P d n u n   =    

α

 ( ) P chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng ∆ thì ; P d n u u∆   =    

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi

qua điểm ( ) 3; 1;1 M − và vuông góc với đường thẳng 1 2 3 : ? 3 2 1 x y z − + − ∆ = = −

A. 3 2 12 0 x y z − + − = B. 3 2 8 0 x y z + + − = C. 2 3 3 0 x y z − + + = D. 3 2 12 0 x y z − + + =

Lời giải

Gọi ( ) P là mặt phẳng cần tìm ta có: ( ) ( ) ( ) 3; 2;1 . P P n u∆ ⊥∆⇒ = = −  

Phương trình mặt phẳng ( ) P qua ( ) 3; 1;1 M − và có VTPT ( ) 3; 2;1 n − 

là:

( ) ( ) ( ) ( ) :3 3 – 2 1 1 1 0 P x y z − + + − = hay 3 2 –12 0 x y z − + = . Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm ( ) 1;0; 2 A − ; ( ) 1;2;4 B − và ( ) 2;0;1 C . Phương

trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là:

A. 3 2 3 – 3 0 x y z − − = B. 3 2 3 3 0 x y z − − + = C. 3 2 3 – 9 0 x y z − − = D. 3 2 3 9 0 x y z − − + =

Lời giải

Gọi ( ) P là mặt phẳng cần tìm thì ( ) 3; 2; 3 P n BC = = − −  

Mặt phẳng ( ) P qua ( ) 1;0; 2 A − và có VTPT (3; 2; 3) ( ) :3 2 3 9 0 P n P x y z = − − ⇒ − − − = 

. Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( ) 3; 1; 2 M −− và mặt phẳng

( ):3 2 4 0 x y z − + + = α . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với

( ) α ?

A. 3 2 6 0 x y z − + − = B. 3 2 14 0 x y z + − − = C. 3 2 6 0 x y z − + + = D. 3 2 14 0 x y z + − + =

Lời giải

Gọi ( ) P là mặt phẳng cần tìm ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / 3; 1;2 . P P n n ⇒ = = −  

α α

Mặt phẳng ( ) P qua ( ) 3; 1; 2 M −− và có VTPT là (P) (3; 1;2) n = − 

có phương trình là: 3 2 6 0 x y z − + − = .

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( ) 2 2 2 : 6 4 2 5 0 S x y z x y z + + − + − + = và

đường thẳng 2 3 1 : . 1 1 5 x y z d − + + = = − Viết phương trình mặt phẳng ( ) P vuông góc với đường thẳng d và đi

qua tâm của mặt cầu ( ) S .

A. ( ):3 2 6 0 P x y z − + − = . B. ( ): 5 4 0 P x y z + − − = .

C. ( ): 5 4 0 P x y z + − + = . D. ( ):3 2 6 0 P x y z − + + =

Lời giải

Ta có:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 3 2 1 9 S x y z S − + + + − = ⇒ có tâm ( ) 3; 2;1 I − và bán kính 3 R =

VTCP của d là ( ) 1;1; 5 u = − 

. Mặt phẳng ( ) P qua I và nhận u 

làm VTPT.