Bài toán viết phương trình đường thẳng

CHỦ ĐỀ 16: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

 Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương

Đường thẳng đi qua điểm M(x ;y ;z ) 0 0 0 với vecto chỉ phương u (a;b;c) = 

có:

- Phương trình tham số:

x x at

y y bt

z z ct

= +  = +  = + 

0

0

0

(t ) ∈

- Phương trình chính tắc là: x x y y z z a b c − − − = = 0 0 0 với điều kiện abc ≠ 0

Phương pháp giải

 Đường thẳng d có véctơ chỉ phương d u 

đã biết

 Đường thẳng d song song đường thẳng ∆, suy ra d u u∆ =  

.

 Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), suy ra d P u n =  

.

Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A( ; ; ) − 1 2 3 và trung điểm của

BC với B( ; ; ) − 2 1 3 và C( ; ; ) 2 3 5 là

A. x y z − + − = = − 1 2 3 1 2 3 . B. x y z − + − = = 1 2 3 2 1 2 .

C. x y z − − − = = − 2 2 1 1 4 2 . D. x y z − + − = = − 1 2 3 1 2 2 .

Lời giải

Trung điểm của BC là x y z M( ; ; ) u AM ( ; ; ) d : − − − ⇒ = = − ⇒ = = − 2 2 1 2 2 1 1 4 2 1 4 2

 

. Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( ; ; );B( ; ; );C( ; ; ) − − − 0 1 2 2 3 5 4 0 7 . Điểm M thuộc cạnh

BC sao cho ABM ACM S S = 2 . Phương trình đường thẳng AM là:

A. x y z + − = = − 1 2 1 3 3 . B. x y z + − = = 1 2 2 1 2 .

C. x y z − − + = = − 2 1 3 2 2 5 . D. x y z + − = = 1 2 2 2 5 .

Lời giải

Ta có ABM ACM S S = 2 và M thuộc cạnh BC nên BM MC = 2  

M M M M M M (x ;y ;z ) ( x ; y ; z ) M( ; ; ) AM ( ; ; ) ⇔ + − − = − − −− ⇒ − ⇒ = − 2 3 5 2 4 7 2 1 3 2 2 5 

Phương trình dường thẳng AM là: x y z − − + = = − 2 1 3 2 2 5 . Chọn C.

Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến

Nếu đường thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến là a 

và b 

tức là

d

d

u a

u b

 ⊥  ⊥ 

 

 thì d u a;b   =    

.

Một số các trường hợp thường gặp:

 Đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng ∆1 và ∆2, suy ra d u u ;u ∆ ∆   =   1 2  

.

 Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và (Q), suy ra d P Q u n ;n   =    

.

 Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với thường thẳng ∆, suy ra d P u n ;u∆   =    

 Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (Q), suy ra d P Q u n ;n   =    

.

 Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆, suy ra d P u n ;u∆   =    

.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x 1 y 1 z 3 d : 2 1 3 + − − = = và mặt phẳng

(P): x y z 1 0 − −−= . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;1; 2) − , song song với mặt phẳng (P) và

vuông góc với đường thẳng d.

Lời giải

Do

(P) (P) d

d

u n / /(P) u n ;u (2;5; 3) d u u

∆ ∆

∆

 ⊥ ∆     ⇒ ⇒ = = −     ∆⊥  ⊥ 

     

Suy ra phương trình đường thẳng ∆ là x 1 y 1 z 2 2 5 3 − − + = = − .

Ví dụ 2: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho (P) : x y z 1 0,(Q) : x y z 2 0 + + + = − + − = và điểm A(1; 2;3) − .

Phương trình nào đưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với (P) và (Q)?

A.

x 1 t

y 2

z 3 t

= −+  =  = −− 

. B.

x 1

y 2

z 3 2t

=  = −  = − 

. C.

x 1 2t

y 2

z 3 2t

= +  = −  = + 

. D.

x 1 t

y 2

z 3 t

= +  = −  = − 

.

Lời giải

Đường thẳng cần tìm song song với (P) và (Q) nên d (p) (Q) u n ;n 2(1;0; 1)   = = −    

.

Do đó d:

x 1 t

y 2

z 3 t

= −+  =  = −− 

. Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(-1;0;2) và

song song với hai mặt phẳng (P) : 2x 3y 6z 4 0 − + + = và (Q) : z y 2z 4 0 + − + =