Bài toán cực trị tọa độ không gian Oxyz

CHỦ ĐỀ 19: BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho u aMA bMB cMC = + +    

có u 

đạt min.

Phương pháp giải:

+Tìm điểm I thõa mãn hệ thức 0 aIB bIB cIC + + =    

tọa độ điểm I là:

1

1

1

A B C

A B C

A B C

ax bx cx x a b c ay by cy y a b c az bz cz z a b c

+ +  =  + +  + +  =  + +  + +  =  + + 

Phân tích ( ) ( ) ( ) u aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC a b c MI = + + = + + + + + = + +         

Khi đó

min u a b c MI u = + + ⇒ ⇔  

M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) ( ) IM P u n ⇒ =  

Khi đó ( ) ( ) M P IM = ∩ .

Ví dụ 1: Cho các điểm ( ) ( ) 2;1; 1 ; 0;3;1 A B − và (P) : x y z 3 0 + −+ = . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

a)

min MA MB +  

.

b)

min 2MA MB −  

.

Lời giải

a) Gọi ( ) 1;2;0 I là trung điểm của AB thì 0 IA IB + =   

Ta có: 2 MA MB MI + =   

nhỏ nhất min MI ⇔ ⇔là M là hình chiếu của điểm I trên (P)

Phương trình đường thẳng MI là: ( )

1 2 1 ;2 ; x t y t M t t t z t

= +   = + ⇒ + + −  = − 

Cho ( ) ( ) 1 2 3 0 2 1;0;2 M P t t t t M ∈ ⇒+ + + + + = ⇔= −⇒ − .

b) Gọi I là điểm thỏa mãn

1

1

1

2 4 2 1 2 2 0 1 2 1 2 3 2 1

A B

A B

A B

x x x

y y IA IB y

z z z

−  = =  −  −  − = ⇒ = = −  −  −  = = −  − 

  

Ta có: ( ) 2 2 2 MA MB MI IA MI IB MI MI − = + − + = =       

nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của điểm I trên

(P). Phương trình đường thẳng MI là: ( )

4

1 4 ; 1 ; 3

3

x t

y t M t t t

z t

= +   = −+ ⇒ + −+ −−  = −− 

Cho ( ) ( ) 4 1 3 3 0 3 1; 4;0 M P t t t t M ∈ ⇒ + −+ + + + = ⇔= −⇒ − .

Ví dụ 2: Cho các điểm ( ) ( ) ( ) 1;0; 1 ; 2; 2 0; ;0 ;1 1 A C B − − − và (P) : x 2 y 2z 6 0 − + + = . Tìm điểm M thuộc

(P) sao cho

a)

min MA MB MC + +   

.

b)

min 2 4 3 MA MB MC − +   

.

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

(0;1; 2)

0

G

GA GB GC

−  ⇒ + + =     .

Ta có: 3 3 MA MB MC MG MG + + = =    

⇔ M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng MG khi đó là: ( ) 1 2 ; 1 2 ; 2 2

2 2

x t

y t M t t t

z t

=   = −− ⇒ −− −+  = −+ 

Cho ( ) ( ) 4 2 4 4 6 0 0 0;1; 2 M P t t t t M ∈ ⇒+ − + − + = ⇔= ⇒ − .

b) Gọi I là điểm thỏa mãn

1

1

1

2 4 3 6 2 4 3 2 4 3 2 4 3 0 5 2 4 3 2 4 3 6 2 4 3

A B C

A B C

A B C

x x x x

y y y IA IB IC y

z z z z

− +  = = −  − +  − +  − + = ⇒ = =  − +  − +  = = −  − + 

   

Phương trình đường thẳng MI khi đó là: ( )

6

5 2 6 ;5 2 ; 6 2

6 2

x t

y t M t t t

z t

= −+   = − ⇒ −+ − −+  = −+ 

Cho 22 32 89 10 ( ) 6 4 10 4 12 6 0 ; ; 9 9 9 9 M P t t t t M −   ∈ ⇒−+ + − + − + = ⇔= ⇒ −    

.

Ví dụ 3: Cho các điểm ( ) ( ) ( ) 4;1; 1 ; 2;3 6; 2 ; 1 2 3; B A C − − − và (P) : x 2 y z 1 0 + −+ = . Tìm điểm M thuộc (P)

sao cho

min 2 3 MA MB MC + −   

. Độ dài đoạn thẳng OM là:

A. 5 OM = . B. 3 OM = . C. 3 OM = . D. 9 OM = .

Lời giải