225 bài toán hình học không gian trong các đề thi thử 2016 - Trần Văn Tài

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN

THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 1

HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016

BÀI 1 (THPT SỐ 3 BẢO THẮNG – LÀO CAI). Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình vuông cạnh bằng 4a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đ{y. Góc giữa cạnh SC v| mặt phẳng (ABCD) bằng 0 60 , M l| trung điểm của BC , N l| điểm thuộc cạnh AD sao cho DN = a . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD v| khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SB và MN.

Lời giải.

F

N

E M

A B

D C

S

H

K

▪Ta có SA  (ABCD)  AC l| hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra góc giữa cạnh SC v| mặt phẳng (ABCD) là góc SCA. Tam gi{c ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có:

2 2 2 2 0 32a 4a 2 .tan 60 4a 6 AC AB BC AC SA AC        

3 2 2 . 1 64 6 4a.4a 16a .16a .4 6 3 3 ABCD S ABCD a S V a      (đvtt)

▪Gọi E l| trung điểm của đoạn AD , F l| trung điểm của AE

BF // MN nên         / /( ) ( , ) , , MN SBF d MN SB d MN SBF d N SBF   

Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ , AH BF H BF   , trong mặt phẳng (SAH) kẻ , AK SH K SH  

. Ta có ( ) BF AH BF SAH BF AK BF SA         

. Do ( ) AK SH AK SBF AK BF            , d A SBF AK  

Lại có : 2 2 2 2 1 1 1 17 16 AH AB AF a    và 2 2 2 2 1 1 1 103 4 618 103 96 a AK AK AS AH a     

            , 8 618 2 , 103 ,

d N SBF NF a d N SBF AF d A SBF     .

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN

THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 2

Vậy

3

. 64 6 3 S ABCD a V  và 8 618 ( , ) 103 a d MN SB  .

BÀI 2 (THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH). Cho hình chóp .S ABCD có đ{y ABCD là hình thoi tâm I v| có cạnh bằng a, góc BAD bằng

0 60 .Gọi H l| trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Góc giữa SC và mặt phẳng ( ) ABCD bằng 0 45 . Tính thể tích của khối chóp .S AHCD v| tính khoảng c{ch từ điểm A đến mặt phẳng ( ) SCD .

Lời giải.

H

I

B C

A D

S

E

K

▪ Ta có ( ) SH ABCD HC l| hình chiếu vuông góc của SC trên

(ABCD) 0 ( ,( )) 45 SC ABCD SCH

Theo giả thiết 0 60 BAD BAD đều BD a ; 3 3 ; 4 2 a HD a AI

và 2 3 AC AI a Xét SHC vuông c}n tại H , theo định lý Pitago ta

có:

2 2 2 2 3 13 4 2 4 a a SH HC IC HI a .

Vậy 3 . 1 1 1 39 . . . 3 3 2 32 S AHCD AHCD V SH S SH AC HD a

▪ Trong ( ) ABCD kẻ HE CD và trong ( ) SHE kẻ HK SE (1). Ta có:

( ) (2) ( ( )) CD HE CD SHE CD HK CD SH SH ABCD

Từ (1) v| (2) suy ra ( ) ( ,( )) HK SCD d H SCD HK

Xét HED vuông tại E , ta có 0 3 3 .sin60 8 HE HD a

Xét SHE vuông tại H , ta có

2 2 . 3 39

4 79

SH HE HK a SH HE

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN

THẦY TRẦN VĂN TÀI – LÊ MẠNH CƯỜNG CHIA SẺ TÀI NGUYÊN TOÁN 2016 Trang 3

Mà ( ,( )) 4 4 4 39 ( ,( )) ( ,( )) ( ,( )) 3 3 3 79

d B SCD BD d B SCD d H SCD HK a d H SCD HD

Do / /( ) AB SCD ( ,( )) ( ,( )) d A SCD d B SCD 39

79 a .

Kết luận: 3 . 39 32 S AHCD V a ; ( ,( )) d A SCD 39

79 a .

BÀI 3 (THPT BỐ HẠ).

Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD l| hình chữ nhật với 2 , AD 3 AB a a   . Mặt bên SAB l| tam gi{c c}n tại S v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đ{y. Biết đường thẳng SD tạo với mặt đ{y một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng c{ch giữa hai đường thẳng SA v| BD. Lời giải.

x

H

B C

A D

S

I

K

Khi đó tam gi{c SHD vuông c}n tại H, suy ra  2 SH HD a ,

Khi đó thể tích lăng trụ l|

3

. 1 4 3 . 3 3 S ABCD ABCD a V SH S   (đvtt)

Kẻ Ax//BD nên BD//(SAx) m| (SAx) SA

(BD,SA) (BD,(SAx)) (B,(SAx)) 2 (H,(SAx)) d d d d    

Gọi I, K lần lượt l| hình chiếu của H trên Ax và SI

Chứng minh được (SAx) HK

Tính được 2 93 31 a HK . 4 93 (BD,SA) 2 (H,(SAx)) 2HK 31 a d d    

Đặt ( 0) 3 , 2 ,NB , 5, 10 AD x x AB x AN x x DN x BD x        

Xét tam giác BDN có

2 2 2 7 2 cos 2 . 10 BD DN NB BDN BD DN     .

Gọi hình chiếu của S trên AB l| H. Ta có ,( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) SH AB SAB ABCD AB SAB ABCD SH ABCD …