Một số công thức tính bán kính mặt cầu - Trần Lê Quyền

Trần Lê Quyền

Trần Lê Quyền1 — Casiotuduy

Một sốcông thức tính bán kính mặt cầu

25–04–2017

Nhận xét 1. Xét hình chóp S.ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O và bán kính Rd. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, ta có các trường hợp sau:

(1) Nếu SA⊥(ABC) thì

R =

r

SA2

4 + R2 d (1)

(2) Nếu SA = SB = SC thì

R = SA2

2SO (2)

(3) Nếu (SAB)⊥(ABC) và bán kính đường tròn ngoại tiếp △SAB bằng Rb thì

R = q

d(O, AB)2 + R2 b. (3)

Chứng minh. (1) và (2) đơn giản. (3) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Ta có IO⊥(ABC) và IK⊥(SAB). Xét tam giác IAK, ta có

IA = p

IK2 + AK2 = q

d(O, AB)2 + Rb2.

Đểý rằng OI ∥(SAB) nên IK = d(O, (SAB)) = d(O, AB).

Ví dụ1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a √

3. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Giải. Đểáp dụng (1), chỉcần tính được bán kính đáy Rd. Vì đáy là tam giác vuông tại B nên

Rd = BC

2 = a √

5 2 . Vậy bán kính cần tìm bằng q

SA2

4 + R2 d = a √

2.

Ví dụ2. Cho lăng trụtam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cảcác cạnh bằng nhau và bằng 2a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụđã cho

1Nhận luyện thi theo nhóm khu vực Q6, TP.HCM 01226678435

1 0122 667 8435

Trần Lê Quyền

Giải. Mặt cầu đã cho cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A′.ABC, nên với A′A⊥(ABC) ta có thểáp dụng

R =

r

A′A2

4 + R2 d =

s

a2 + 2a √

3

2 = a √

21 3 .

Diện tích mặt cầu là 4πR2 = 28πa2

3 .

Ví dụ3. Cho tứdiện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết rằng OA = a, OB = b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứdiện OABC.

Giải. Ta có AO⊥(OBC) nên có có thểáp dụng (1),

R =

r

OA2

4 + R2 d = 1

2

p

OA2 + OB2 + OC2.

Công thức này cho phép xây dựng một sốbài toán thú vịliên quan đến tứdiện vuông. Chẳng hạn

BT 1. Cho tứdiện OABC có A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA, OB, OC đôi một vuông góc và 2OA+OB +OC = 3. Giá trịnhỏnhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC là

A.

√

6 4 B.

√

2 2 C. 3 √

3 8 D. 3

4

BT 2. Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cốđịnh trên Oz, đặt OC = 1; các điểm AB, thay đổi trên OxOy, sao cho OA + OB = OC. Tìm giá trịbé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứdiện OABC.

A.

√

6 3 B. √

6 C.

√

6 4 D.

√

6 2

Ví dụ4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a √

3.

Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD. Giải. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, ta có SH⊥(ABC). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD bằng AH = a √

3.

Trong khi ta có DH = 2AH, thếnên H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Vậy có thểáp dụng (1),

R =

r

SH2

4 + R2 d = a √

21 6 .

Như vậy, có thể‘nới rộng’ điều kiện áp dụng của (1), đó là khi hình chiếu của đỉnh S

2 0122 667 8435

Trần Lê Quyền

‘rơi’ trên đường tròn ngoại tiếp đáy.

Ví dụ5. Tính thểtích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứgiác đều có tất cảcác cạnh bằng a.

Giải. Xét hình chóp tứgiác đều S.ABCD có tất cảcác cạnh bằng a. Vì các hình chóp S.ABCD và S.ABC có cùng mặt cầu ngoại tiếp nên với SA = SB = SC ta có thểáp dụng (2) đểcó

R = SA2

2SO

Ta có SO = √

SA2 −OA2 = q

a2 −a2

2 = a √

2 suy ra R = a √

2. Vậy

thểtích khối cầu bằng 4

3πR3 = πa3√

2 3 .

Ví dụ6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết rằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 2

3. Tính thểtích khối chóp.

Giải. Vì S cách đều A, B, C nên có thểáp dụng (2). Ta có các liên hệ   

 

SA2 = SO + 1

3 SA2

2SO = 2

3

Giải hệnày thu được SO = 1, vậy thểtích khối chóp đã cho là √

3 12 .

Ví dụ7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với (SAC) một góc 30◦. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Giải. Áp dụng (3), …