Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện - Lê Bá Bảo

[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...] Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

CHUY£N §Ò:

MÆT TRßN XOAY

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

SĐT: 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện

I- PHƯƠNG PHÁP

1. Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:

Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét

quan trọng sau :

+ Điểm M thuộc S(O;R) OM R   .

+ Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính của mặt cầu dưới 1 góc vuông.

2. Điều kiện cần và đủ:

+ Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp.

+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và

có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp.

3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng:

Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng ( )  được gọi

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

khi mp( ) đi qua trung điểm I của AB và

vuông góc với AB.

Lưu ý:   là tập hợp tất cả các điểm M trong

không gian cách đều A, B.

I

B

A



Dạng toán: CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU

Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:

Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét

quan trọng sau:

+ Điểm M thuộc S(O;R) OM R   .

[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...] Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 2 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

+ Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông.

I- Thuật toán 1: SỬ DỤNG MỘT TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN

Cho hình chóp 1 2 . ... n S A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác

định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại

tiếp đa giác đáy.

Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( )  của một cạnh bên.

Lúc đó:

+ Tâm O của mặt cầu:  mp( ) O   

+ Bán kính:   R OA OS   .

Tuỳ vào từng trường hợp.



H

O

I

D

C

B

A

S

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp

đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.



H

M

C

B

A

Tính chất: : M MA MB MC    

Suy ra: MA MB MC M    

2. Các bước xác định trục:

- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

- Bước 2: Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy.

[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...] Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế

VD: Một số trường hợp đặc biệt

Tam giác vuông

H

A

B C



Tam giác đều



C B

A

H

Tam giác bất kì

B

A

C H



3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng

SMO  đồng dạng với SIA 

SO SM MO SA SI IA   

A

M

I

O

S

4. Nhận xét quan trọng:

  , , : MA MB MC M S M S SM SA SB SC          

là trục đường tròn ngoại tiếp ABC  .

Thuật toán 2: SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN

Cho hình chóp 1 2 . ... n S A A A (thõa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để

xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại

tiếp đa giác đáy.

Bước 2: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.

Lúc đó:

+ Tâm I của mặt cầu:  d I  

+ Bán kính:   R IA IS   . Tuỳ vào từng trường

hợp.

R

I

Δ

D

d

S

A

B

C