Chuyên đề mặt nón

Nhóm Tài liệu dạy thêm

CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 1 | LTTN

MẶT NÓN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng  P , cho hai đường thẳng d và  cắt nhau

tại O và chúng tạo thành góc  với    0 0 0 90 . Khi quay

 P xung quanh trục  với góc  không thay đổi được gọi

là mặt nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón) đỉnh O (hình 1).

Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng d được gọi là

đường sinh và góc  2 gọi là góc ở đỉnh.

2. Hình nón tròn xoay

Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì

đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón

tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường

cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

 Hình tròn tâm I , bán kính  r IM là đáy của hình nón.

 Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh OM khi

quay quanh OI gọi là mặt xung quanh của hình nón.

Khối nón tròn xoay (gọi tắt là khối nón) là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón

tròn xoay, kể cả hình nón đó.

3. Một số tính chất

a) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng  P đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau:

  P cắt hình nón theo hai đường sinh giao tuyến là tam giác cân.

  P tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh ( P là mặt phẳng tiếp diện của hình nón).

b) Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng  P không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau:

 Nếu  P vuông góc với trục hình nón  giao tuyến là một đường tròn.

 Nếu  P song song với 2 đường sinh hình nón  giao tuyến là một nhánh của hypebol.

 Nếu  P song song với 1 đường sinh hình nón  giao tuyến là một đường parabol.

4. Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

 Diện tích xung quanh: xq   S rl .

 Diện tích toàn phần hình nón: tp xq đáy       2 S S S rl r .

O d



O

Hình 1.

Hình 2.

O

I

M

Nhóm Tài liệu dạy thêm

CHUYÊN ĐÊ: NÓN- TRỤ -CẦU Trang 2 | LTTN

 Thể tích khối nón: nón đáy    2 1 1 . 3 3 V S h r h .

B. BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông OIM quanh cạnh góc vuông OI tạo thành một hình nón tròn

xoay. Biết góc   30 IOM và cạnh  IM a. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

và thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay trên.

Giải:

Ta có:   r IM a.

   2 sin

IM l OM a IOM

,     2 2 3 h OI OM IM a .

Diện tích xung quanh của hình nón: xq       2 .2 2 S rl a a a .

Thể tích của khối nón:      

3 2 2 1 1 3 3 3 3 3 a V r h a a .

Ví dụ 2: Một hình nón có đường kính đáy là 2 3 a , góc ở đỉnh là 0 120 . Tính diện tích toàn

phần của hình nón và thể tích của khối nón trên.

Giải:

Ta có   3 r IA a ,   60 IOA nên

    

3 2 sin60 3 2

IA a l OA a ,       2 2 2 2 4 3 . h OI OA IA a a a

Diện tích xung quanh của hình nón: xq       2 3.2 2 3 S rl a a a .

Diện tích đáy của hình nón: đáy     2 2 3 S r a .

Diện tích toàn phần của hình nón:   tp xq đáy          2 2 2 2 3 3 2 3 3 S S S a a a .

Thể tích của khối nón: đáy      2 3 1 1 . 3 . 3 3 V S h a a a .

Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao 20 h cm, bán kính đáy 25 r cm. Mặt phẳng   đi qua

đỉnh cắt hai đường sinh của hình nón. Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng  

là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.

Giải:

Ta có   cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân OAB với

, A B là hai điểm nằm trên đường tròn đáy.

Gọi H là trung điểm AB khi đó  IH AB .

Mà  OI AB suy ra    1 AB OIH .

Kẻ  IK OH , K nằm trên OH .

O

I

M

 30

K

I

A

h

B

r H

O

O

I A

 120

B