Chuyên đề mặt nón, mặt trụ và mặt cầu

Omegagroupthpt@gmail.com

2

BÀI 1: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN a) Mặt tròn xoay: Một mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng d và (C), khi quay ( ) quanh d một góc 360thì mỗi điểm M thuộc (C) sẽ vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc d. Tập hợp tất cả các điểm trên (C) tạo thành một đường tròn có tâm trên d khi ( ) quay quanh d được gọi là mặt tròn xoay. (C) được gọi là đường sinh, d là trục của mặt tròn xoay.

b) Mặt nón, hình nón và khối nón tròn xoay

Mặt nón tròn xoay Hình nón tròn xoay Khối nón tròn xoay Khi (C) là một đường thẳng trong mặt phẳng( ) quay quanh d thì (C) sinh ra một mặt tròn xoay gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón). Khi đó: - (C) là đường sinh của mặt nón. -d là trục của mặt nón

-

 ( ,( ))

0 90

d C 

     

  

- Góc 2  là góc ở đỉnh của mặt nón

Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó quanh cạnh OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). Khi đó: - O là đỉnh của hình nón - OI là đường cao của hình nón - OM là đường sinh của hình nón. - Đường tròn tâm I,bán kính IM là mặt đáy của hình nón. - Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi cạnh OM quay quanh OI gọi là mặt xung quanh của hình nón.

Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó (gọi tắt là khối nón). Khi đó: - Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón. - Điểm không thuộc khối nón gọi là điểm ngoài của khối nón. - Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là điểm trong của khối nón. * Lưu ý: Mặt nón là một hình học dài vô hạn, trong khi đó hình nón là hình học có giới hạn, là 1 phần của mặt nón có đỉnh trùng với đỉnh của mặt nón. Do vậy mà trong một số trường hợp, thiết diện của một mặt phẳng với mặt nón khác với hình nón c) Các công thức tính diện tích và thể tích của hình nón: Xét hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r và chiều dài đường sinh là l, khi đó:

Diện tích xung quanh xq S rl  

Diện tích đáy

2 áy S r   đ

Diện tích toàn phần

2 ¸ tp xq y S S S rl r       đ

Thể tích khối nón

¸

2 1 1 . 3 3 y V S h r h    đ

Omegagroupthpt@gmail.com

3

* Lưu ý: - Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón theo 1 đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta được 1 hình quạt có bán kính bằng độ dài đường sinh của hình nón và 1 cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh hình nón.

- Mối quan hệ giữa đường sinh l và bán kính r:

Gọi  là số đo góc của cung  AmB , khi đó ta có độ dài của cung  AmB :  AmB C l   . Vì độ dài

cung  AmB bằng chu vi của đường tròn có bán kính r của đáy hình chóp ban đầu nên ta có:

2 2 l l r r

      

d)Thiết diện của mặt phẳng với hình nón: - Mặt phẳng cắt hình nón và đi qua đỉnh:

Mặt phẳng đi qua 2 đường sinh Mặt phẳng đi qua 1 đường sinh

Thiết diện là tam giác cân tại đỉnh của hình nón

Khi này mặt phẳng tiếp xúc với hình nón (gọi là tiếp diện) - Mặt phẳng cắt hình nón và không đi qua đỉnh:

Mặt phẳng vuông góc với trục và cắt tất cả

đường sinh của hình nón

Mặt phẳng không vuông góc và cắt tất cả

đường sinh của hình nón

Thiết diện là 1 đường tròn

Thiết diện là 1 đường elip