Bài giảng mặt nón, hình nón và khối nón

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 6: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

BÀI 1: MẶT NÓN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.

+ Nắm được các công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, diện tích đáy của hình nón,

diện tích toàn phần của hình nón, thể tích của khối nón.

 Kĩ năng

+ Nhận biết được một khối tròn xoay là khối nón.

+ Tính được các yếu tố liên quan đến khối nón như độ dài đường sinh, chiều cao, góc ở đỉnh,

diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thiết diện, thể tích của khối nón…

+ Giải được các bài toán nâng cao liên quan đến khối nón như bài toán cực trị, bài toán thực tế…

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

MẶT NÓN TRÒN XOAY

Trong mặt phẳng  P . Cho hai đường thẳng Δ là  cắt

nhau tại O và tạo thành góc  với 0 90  . Khi quay

mặt phẳng  P xung quanh Δ thì đường thẳng  sinh ra

một mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay (hay

đơn giản là mặt nón). Khi đó:

 Đường thẳng Δ gọi là trục của mặt nón.

 Đường thẳng  được gọi là đường sinh của mặt nón.

 Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

Nhận xét: Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón   N

khác với điểm O thì đường thẳng OM là đường sinh của

mặt nón đó.

HÌNH NÓN TRÒN XOAY

Cho OIM  vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI

thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình

nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón).

Khi đó:

 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường

cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

 Hình tròn tâm I, bán kính r IM  là đáy của hình nón.

TOANMATH.com Trang 2

KHỐI NÓN TRÒN XOAY

Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn

xoay kể cả hình đó ta gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn

gọn là khối nón.

Các khái niệm tương tự như hình nón.

Xét khối nón có hình biểu diễn là hình bên thì ta có nhận

xét:

- Nếu mp  P chứa OI thì thiết diện của mp  P và khối

nón là một hình tam giác cân tại O.

- Nếu mp  P vuông góc với OI (không chứa O) thì thiết

diện của mp  P và khối nón (nếu có) là một hình tròn.

Hình tròn thiết diện này có diện tích lớn nhất khi mp  P

đi qua I.

CÔNG THỨC CẦN NHỚ

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài

đường sinh là  thì có:

- Diện tích xung quanh: xq S r .

- Diện tích đáy (hình tròn): 2 ht S r  .

- Diện tích toàn phần: 2 tp S r r    .

- Thể tích khối nón: 2 1 1 . 3 3 ht V S h r h    .

Chú ý: Nếu cắt mặt nón   N bởi hai mặt

phẳng song song  P và  Q với  P qua

O và vuông góc với  thì phần mặt nón

  N giới hạn bởi hai mặt phẳng  P và

 Q và hình tròn giao tuyến của  Q và

mặt nón   N là hình nón.

Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khối

nón ta thường vẽ như hình bên.

TOANMATH.com Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

MẶT NÓN

Trong mặt phẳng  P . Cho hai đường thẳng Δ và

 cắt nhau tại O và tạo thành góc . Khi quay

mặt phẳng  P xung quanh Δ thì đường thẳng 

sinh ra một mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay.

MẶT NÓN TRÒN XOAY

Cho OMI  vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay.

HÌNH NÓN TRÒN XOAY

Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình đó ta gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón.

KHỐI NÓN TRÒN XOAY

CÁC CÔNG THỨC

Diện tích xung quanh xq S r 

Diện tích đáy 2 ht S r 

Diện tích toàn phần 2 tp S r r   

Thể tích 2 1 1 . 3 3 ht V S h r h   