Bài giảng mặt cầu, khối cầu

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 6. MẶT NÓN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ

BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được các trường hợp giao của mặt cầu với mặt phẳng, giao của mặt cầu với đường thẳng,

vị trí của một điểm với mặt cầu.

+ Nắm vững công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

 Kĩ năng

+ Biết vẽ hình trong từng bài toán cụ thể.

+ Biết tính bán kính, diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu.

+ Giải được các bài toán liên quan đến khối cầu như bài toán tương giao với đường thẳng hay

mặt phẳng, bài toán cực trị, bài toán thực tế...

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

- Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí

hiệu là:   ; . S O R Khi đó    ; . S O R M OM R  

- Khối cầu hay hình cầu   ; S O R là tập hợp tất cả các

điểm M sao cho . OM R 

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và một điểm

Cho mặt cầu   ; S O R và một điểm A. Nếu:

+) OA R  thì điểm A nằm trên mặt cầu   ; . S O R

+) OA R  thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu   ; . S O R

+) OA R  thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu   ; . S O R

Ta thường vẽ hay biểu diễn một mặt cầu hay khối cầu như hình sau:

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu   ; S I R và đường thẳng . Gọi H

là hình chiếu của I lên  hay   ; . d I IH 

Nếu:

+) : IH R   không cắt mặt cầu hay mặt cầu   S ;I R và đường thẳng  không có điểm chung.

+) IH R  thì  với mặt cầu   ; S I R có một

điểm chung duy nhất là H. Ta nói  là một tiếp

tuyến của mặt cầu   ; S I R và H là tiếp điểm.

+) : IH R   cắt mặt cầu   ; S I R tại hai điểm

phân biệt.

Nhận xét:

+) IAB cân tại I, điểm H là trung điểm của AB và

2 2 2 2 2 . 2 AB R IH AH IH         

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

TOANMATH.com Trang 3

Cho mặt cầu   ; S I R và mặt phẳng  P . Gọi H

là hình chiếu vuông góc của I lên  P hay

   ; . d I P IH  Nếu:

+) : IH R  Mặt cầu   ; S I R và mặt phẳng  P

không có điểm chung.

+) Nếu : IH R  Mặt phẳng  P tiếp xúc mặt

cầu   ; S I R . Lúc này ta nói mặt phẳng  P là mặt

phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm.

Lưu ý:  IH P 

+) Nếu : IH R  Mặt phẳng  P cắt mặt cầu

theo thiết diện là đường tròn có tâm   I I H   và

bán kính

2 2 2 2. r R IH R I I    

Nhận xét: Đường tròn giao tuyến có diện tích lớn

nhất khi mặt phẳng  P đi qua tâm I của mặt cầu

  ; S I R . Đường tròn này ta gọi là đường tròn lớn.

Công thức cần nhớ

Cho mặt cầu   ; . S I R

- Diện tích mặt cầu 2 4 . S R  

- Thể tích khối cầu 3 4 . 3 V R  

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

MẶT CẦU

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R.

Kí hiệu:    ; . S O R M OM R  

TOANMATH.com Trang 4

MẶT CẦU – KHỐI CẦU

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết về mặt cầu, khối cầu

Phương pháp giải

Cần nắm vững phần kiến thức trọng tâm ở trên

Ví dụ: Cho hình cầu có bán kính R. Khi đó thể tích khối cầu là

A. 3 4 . 3 R  B. 3 2 . 3 R  C. 3 1 . 3 R  D. 3 4 . R 

Hướng dẫn giải

Từ công thức tính thể tích của khối cầu 3 4 3 V R   ta suy ra đáp án.

Chọn A.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Diện tích mặt cầu có bán kính R là

A. 2 4 . R  B. 3 4 . R  C. 2 4 . 3 R  D. 3 4 . 3 R 

Hướng dẫn giải

Từ công thức tính diện tích của mặt cầu 2 4 S R   ta suy ra đáp án.

Chọn A.

Ví dụ 2. Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu   S ; O R có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu?

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu   S ; O R có thể kẻ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

Chọn A.

Chú ý: Nếu M nằm trên mặt cầu thì đáp án vẫn là vô số tiếp tuyến nhưng lúc này các tiếp tuyến đều nằm trên mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại M.

CÁC CÔNG THỨC

Diện tích mặt cầu

Thể tích khối cầu

2 4 . S R  

3 4 . 3 V R  