Lý thuyết cơ bản và bài tập về khối đa diện - Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Khối đa diện

Trang 1

1. Hai đường thẳng song song

a) Định nghĩa: a b P a b a b , ( )  ⊂ ⇔∩ = ∅  P

b) Tính chất

•

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( )

P Q R P Q a a b c đồng qui P R b a b c Q R c

 ≠ ≠   ∩ = ⇒   ∩ =   ∩ = 

P P • ( ) ( ) ( ) ,( ) ( )

P Q d d a b P a Q b d a d b a b

 ∩ =   ⊃ ⊃ ⇒   ≡ ≡  

P P

P

• , a b a b a c b c ≠ ⇒ 

P P P

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song a) Định nghĩa: d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ b) Tính chất

• ( ), ' ( ) ( ) ' d P d P d P d d  ⊄ ⊂ ⇒ 

P P • ( ) ( ) ,( ) ( ) d P d a Q d Q P a  ⇒  ⊃ ∩ = 

P P

• ( ) ( ) ( ) ,( ) P Q d d a P a Q a  ∩ = ⇒ 

P P P

3. Hai mặt phẳng song song

a) Định nghĩa: (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅

b) Tính chất

• ( ) ,

( ) ( ) ( ), ( )

P a b a b M P Q a Q b Q

 ⊃ ∩ = ⇒  

P P P

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P Q P R P Q Q R

 ≠  ⇒  

P P P

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Q R P Q a a b P R b

 ∩ = ⇒   ∩ = 

P

P

4. Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) • Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. • Áp dụng các định lí về giao tuyến song song. b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh ( ) d P P , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.

CHƯƠNG 0 ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

I. QUAN HỆ SONG SONG

Khối đa diện Trần Sĩ Tùng

Trang 2

1. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa: a ⊥ b ⇔ ¶ ( ) 0 , 90 a b =

b) Tính chất • Giả sử ur là VTCP của a, vr là VTCP của b. Khi đó . 0 a b u v ⊥ ⇔ = r r .

• b c a b a c ⁄⁄ ⇒ ⊥ ⊥ 

2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) b) Tính chất

• Điều kiện để đường thẳng ⊥ mặt phẳng: , ( ), ( ) , a b P a b O d P d a d b  ⊂ ∩ = ⇒ ⊥  ⊥ ⊥ 

• a b P b P a ( ) ( )  ⇒ ⊥  ⊥ 

P • a b a b a P b P ( ), ( ) ≠ ⇒ ⊥ ⊥ 

P

• P Q a Q a P ( ) ( ) ( ) ( )  ⇒ ⊥ ⊥ 

P • P Q P Q P a Q a ( ) ( ) ( ) ) ( ) ,( )  ≠ ⇒ (  ⊥ ⊥ 

P

• a P b a b P ( ) ( )  ⇒ ⊥ ⊥ 

P • a P a P a b P b ( ) ) ,( ) ⊄ ⇒ ( ⊥ ⊥ 

P

• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. • Định lí ba đường vuông góc Cho ( ), ( ) a P b P ⊥ ⊂ , a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′

3. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: (P) ⊥ (Q) ⇔ · ( ) 0 90 P Q ( ),( ) =

b) Tính chất

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( ) ( ) ( ) ( ) P a P Q a Q  ⊃ ⇒ ⊥ ⊥ 

• ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ), P Q P Q c a Q a P a c  ⊥ ∩ = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥  • ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )

P Q A P a P a A a Q

 ⊥  ∈ ⇒ ⊂  ∋ ⊥ 

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P Q a P R a R Q R

 ∩ =  ⊥ ⇒ ⊥   ⊥ 

4. Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d a ⊥ , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Chứng minh góc giữa a và d bằng 900. • Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau. • Chứng minh d b ⊥ mà b a P .

II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC