Tuyển tập các bài toán hình học không gian - Châu Ngọc Hùng

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC

1 - Khối chóp

Bài 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và ƒ SAD = 900. J là trung điểm SD. Tính theo a thểtích khối tứdiện ACDJ và khoảng cách từD đến mặt phẳng (ACJ).

Giải:

A

B

D

C

I

S

J

+

( AD ⊥SA

AD ⊥AB ⇒AD ⊥(SAB)

+ Gọi I là trung điểm AB thì AD ⊥SI (1). Mà ∆SAB đều nên SI ⊥AB(2)

Từ(1) và (2) suy ra SI ⊥(ABCD). Do đó d(J,(ACD)) = 1

2d(S,(ABCD)) = 1

2SI = a p

3 4

Từđó suy ra VACDJ = 1

3.1

2.a2.a p

3 4 = a3p

3 24 .

∆BCI vuông tại B nên CI2 = CB2 +BI2 = 5a2

4 ∆SIC vuông tại I nên SC2 = SI2 + IC2 = 2a2

Tương tựSD2 = SC2 = 2a2

∆SCD có CJ là đường trung tuyến nên CJ2 = SC2 +CD2

2 −SD4

4 = a2

Xét ∆JAC có JA = a p

2 ; AC = a p

2;CJ = a nên tính được cosA = 3

4

Từđó sinƒ JAC =

p

7 4 nên dt(JAC) = 1

2. a p

2 .

p

7 4 = a2p

7 8

Vậy d(D,(JAC)) = 3.a3p

3 24 a2p

7 8

= a p

21 7 □

Nhận xét: Có thểtính diện tích tam giác JAC bằng cách lấy hình chiếu của J trên mặt đáy (là trung điểm H của DI). Trong mặt đáy, kẻHK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với K thuộc AC thì chỉra được JK vuông góc với AC và tính được JK là đường cao tam giác JAC.

Bài 1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 p

3a,BD =

2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Biết khoảng cách từđiểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a p

3 4 , tính thểtích khối chóp S.ABCD theo a.

http://boxmath.vn/ 1

Giải:

D A

C B

O

S

H

K

I

Từgiảthiết AC = 2a p

3;BD = 2a và AC,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a p

3;BO = a, do đó ƒ ABD = 60o hay tam giác ABD đều. Từgiảthiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥(ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB,K là trung điểm của HB ta có DH ⊥AB

và DH = a p

3;OK//DH và OK = 1

2DH = a p

3 2 ⇒OK ⊥AB ⇒AB ⊥(SOK) Gọi I là hình chiếu của

O lên SK ta có OI ⊥SK; AB ⊥OI ⇒OI ⊥(SAB), hay OI là khoảng cách từO đến mặt phẳng

(SAB). Tam giác SOK vuông tại O,OI là đường cao ⇒ 1 OI2 = 1 OK2 + 1 SO2 ⇒SO = a

2 Diện tích

đáy SABCD = 4S∆ABO = 2.OA.OB = 2 p

3a2; đường cao của hình chóp SO = a

2.

Thểtích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD = 1

3SABCD.SO =

p

3a3

3 □

Bài 1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh SA =

SB = SC = 3cm. Tam giác SBD có diện tích bằng 6cm2 .Tính thểtích của khối chóp S.ABCD.

Giải:

D A

C B

O

S

H

Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD) suy ra H nằm trên BD (Vì SA = SB == SC,BD là trung trực của AC). Do đó SH đường cao của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SBD; Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì SA = SC = DA = DC nên SO = DO suy ra tam giác SBD là tam

giác vuông tại S. Vì dt(SBD) = 6 và SB = 3 nên SD = 4; suy ra BD = 5,SH = 12

5 .

ABCD là hình thoi có AD = 3,DO = 5

2 nên AO =

p

11 2 suy ra dt(ABCD) = 5 p

11 2 .

http://boxmath.vn/ 2

VS.ABCD = 1

3SH.dt(ABCD) = 2 p

11.

Vậy thểtích khối chóp S.ABCD bằng 2 p

11(cm3). □

Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a (với a > 0); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng 600. Tam giác ABC vuông tại B,ƒ ACB = 300.G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thểtích hình chóp S.ABC theo a.

Giải:

A

C

B

K G

S

Gọi K là trung điểm BC. Ta có SG ⊥(ABC);ƒ SAG = 600, AG = 3a

2 .

Từđó AK = 9a

4 ;SG = 3a p

3 2 .

Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒AC = 2x;BC = x p

3.

Ta có AK2 = AB2 +BK2 nên x = 9a p

7 14 Vậy VS.ABC = 1

3SG.dt(ABC) = 243

112a3. □

Bài 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450, góc giữa mặt phẳng

(SAB) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thểtích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a p

6.

Giải:

A

B C

D

M

N H

S

P

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và …