29 bài toán hình lăng trụ xiên - Trần Đình Cư

Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30

1

HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC a 3, BC 3a   , 0 ACB 30  . Cạnh bên hợp

với mặt phẳng đáy góc 0 60 và mặt phẳng   A'BC vuông góc với mặt phẳng   ABC . Điểm H trên

cạnh BC sao cho HC 3BH  và mặt phẳng   A'AH vuông góc với mặt phẳng   ABC . Tính thể tích

khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng   A'AC

Giải

           

 

A'BC ABC

A'AH ABC A'H ABC

A'H A'BC A'AH

          

Suy ra 0 A'AH 60 

2 2 2 0 2

0

2 3

ABC.A'B'C' ABC

AH AC HC 2AC.HC.cos30 a AH a

A'H AH.tan60 a 3

3a 3 9a V S .A'H .a 3 4 4

     

  

  

Vì 2 2 2 AH AC HC HA AC AA' AC      

   

2 A'AC

3

A'ABC

2 A'AC

1 1 S AC.A'A a 3.2a a 3 2 2

9 a 3V 3 3a 4 d B; A'AC S 4 a 3

  

   

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ΔABC đều có cạnh bằng a, AA' a  và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A’B. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN)

Giải

Gọi O là tâm tam giác đều ABC   A'O ABC  

Ta có a 3 2 a 3 AM , AO AM 2 3 3   

2 2 2 2 a a 6 A'O AA' AO a 3 3      ;

2

ΔABC

a 3 S 4 

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’:

2 3

ΔABC

a 3 a 6 a 2 V S .A'O . 4 3 4   

Ta có:

    NAMC ΔAMC 1 V S .d N, ABC 3      NAMC

ΔAMC

3V d N, ABC S  

   

2 2 2

AMC ABC NAMC 1 a 3 1 a 6 1 a 3 a 6 a 2 S S ; d N, ABC A'O V . . 2 8 2 6 3 8 6 48       

Lại có: a 3 AM AN 2   , nên ΔAMN cân tại A.

C' B'

B C

A

A'

H

E

N

O M

C' A'

A C

B

B'

Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30

2

Gọi E là trung điểm của MN, suy ra A'C a AE MN, MN 2 2   

   

2 2 2 2 2

AMN

2

3a a a 11 1 a 11 AE AN NE ; S MN.AE 4 16 4 2 16

3a 2 a 11 a 22 d C, AMN : (đvđd) 48 16 11

       

  

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 0 AB a, ACB 30   ; M là

trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 0 60 . Hình chiếu vuông góc

của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (BMB’)

Giải   A'H ABC A'H   là đường cao của hình lăng trụ.

AH là hình chiếu vuông góc của A A’ lên (ABC) 0 A'AH 60  

           

ABC.A'B'C' ABC

2

ABC

2 3

ABC.A'B'C'

A.BMB'

BMB' 3

A.BMB' B'.AMB6 ABC.A'B'C'

V A'H.S

a 3 3a AC 2a, MA MB AB a AH A'H 2 2

1 1 a 3 S BA.BC a.a 3 2 2 2

3a a 3 3a 3 V . 2 2 4

3V d C', BMB' d C, BMB' d A, BMB' S

1 a 3 V V V 6 8



       

  

  

  

  

Do   BM AHA'  nên BM AA' BM BB' ΔBMB'     vuông tại B

2

BMB'

1 1 a 3 S BB'.BM a 3.a 2 2 2     . Suy ra    

3 2 3a 3 a 2 3a d C', BMB' : 8 2 4  

(Cách 2:     0 a 3 3a d A, BMB' AE AH.sin AHE .sin60 2 4     )

Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy

một góc bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm cạnh BC và I là trung điểm của AM. Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy A’B’C’ là trọng tâm G của ΔA'B'C' . Tính thể tích khối lăng trụ đó.

Giải

Gọi M’ là trung điểm của B’C’; K A'M'  sao cho A'K KG GM'  

Kẻ AH A'M'; H A'M'   .

Ta có AHGI là hình bình hành nên IG AH 

Hơn nữa AM' A'M'  , I là trung điểm của AM, G là trọng tâm của ΔA'B'C' nên H là trung điểm của A’K

1 A'H A'M' 6  

P

Q

B'

C'

H

M A C

B

A'

E

K H

M

B

C

G M'

A' C'

B'

A I