Phương pháp phần bù tính thể tích khối đa diện phức tạp - Vương Thanh Bình

PHƢƠNG PHÁP PHẦN BÙ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC TẠP Tác giả: Vương Thanh Bình Bản Full đáp án tại Facebook: https://www.facebook.com/ThanhBinhKami Link video full miễn phí tại : http://moon.vn/Pro/1/228 Mọi góp ý và bài tập liên quan đến phương pháp vui lòng Inbox Facebook A-LÝ THUYẾT CHUNG 1) Khái niệm khối đa diện phức tạp : Là khối đa diện không cơ bản ( không phải chóp tam giác, chóp tứ giác, hình lăng trụ, hình hộp, hình lập phương ... ) Hoặc cơ bản nhưng khó tính chiều cao và diện tích đáy.

2) Ý tƣởng : Ta sẽ xây dựng khối đa diện phức tạp   H nằm trong khối chóp cơ bản  A . Ví

dụ dụ khối chóp  A gồm khối đa diện phức tạp   H và khối chóp cơ bản B khi đó

H A B V V V  

3) Các dạng thƣờng gặp : +) Dạng 1: (Cơ bản) H A B A H B V V V     

+) Dạng 2: (Nâng cao) H A B C A H B C V V V B       

+) Dạng 3: (Sao) H A B C D A H B C D V V V V V         

4) Kiến thức liên quan : 4.1. Định lý Talet: Cho tam giác ABC , đường thẳng d song song với BC đồng thời cắt các

cạnh , AB AC hoặc các đường kéo dài của 2 cạnh này tại , M N thì ta có tỉ lệ : AM AN AB AC 

4.2. Định lý 3 đƣờng giao tuyến: Cho 3 mặt phẳng  , , P Q R giao nhau theo 3 giao tuyến

1 2 3 , , d d d thì 3 giao tuyến này một là đôi một song song hai là đồng quy.

DẠNG 1:     H A B V V V  

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn 3 AB a  ,

đáy nhỏ CD a  , cạnh bên 4 2 , 3

a AD a BC   . Chiều cao 3 SA a  . Tính thể tích của khối chóp

.S ABCD

A.

3 8 2 3 a B.

3 16 2 9 a C.

3 11 3 9 a D.

3 7 5 9 a

 Phân tích ý tƣởng

+) Để tính thể tích khối chóp .S ABCD ta phải tính được diện tích đáy ABCD là một hình thang rất khó tính diện tích ( Vì không phải hình thang cân, không phải hình thang vuông và chiều cao trong hình thang khó tính được ) +) Trong trường hợp này ta sẽ sử dụng phƣơng pháp phần bù tính thể tích Ta xây dựng khối chóp .S ABCD nằm trong khối chóp .S IAB khi đó

      . . . S ABCD S IAB S ICD V V V  

Đương nhiên ta phải chọn sao cho khối chóp .S IAB và khối chóp .S ICD đều dễ dàng tính được thể tích.

 Giải

+) Kéo dài AD và BC cắt nhau tại I. Khi đó

        . . .

1 . 3

IAB ICD S ABCD S IAB S ICD V V V SA S S    

+) Theo định lý Talet ta có: 1 3 ID IC CD IA IB AB    1 9 ICD IAB S S   hay 8 9 ABCD IAB S S 

+) Từ 4 2 , 3

a AD a BC   dễ tính được 3 , 2 IA a IB a   .

+) Theo định lý Herong ta có:    

2 2 2 IAB S p p IA p IB p IC a     

Vậy

3 2 1 8 1 8 16 2 . .3 . .2 2 3 9 3 9 9 ABCD IAB

a V SA S a a   

BÀI TẬP TƢƠNG TỰ

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích là 3 a đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng   qua AM và song song với BD cắt SB, SD tại E và F. Tính thể tích của khối đa diện AEMCB

A.

3

2 2

a B.

3

3 a C.

3 2 2 3 a D.

3 5

14

a

GIẢI

+) Ta xây dựng khối đa diện AEMCB nằm trong khối chóp S.ABC. Khi đó: . . AEMCB S ABC S AEM V V V  

+) Ta có: .

. . .

2 1 1 1 . . 3 2 3 3

S AEM

S AEM S ABC S ABC

V SE SM V V V SB SC     

3

. . . 2 1 3 3 3 AEMCB S ABC S AEM S ABC ABCD

a V V V V V      

Bài 2: Cho lăng đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB BC a   cạnh bên

' 2 AA a  . Gọi M và N là 2 điểm thỏa mãn sao cho ' ' 1 ' ' ' 3 B M B N BA B C   . Tính thể tích khối đa điện

' B MNCBA

A.

3

2 a B.

3 4 3

15

a C.

3 9 2 28 a D.

3 13

27

a

GIẢI +) Ta xây dựng khối đa diện ' B MNCBA nằm trong khối chóp tam giác .I ABC

+) Ta có . '

.

' 1 1 1 1 . . . . 3 3 3 27

I B MN

I ABC

V IM IN IB V IA IC IB    ' ' . 1 26 27 27 IB MN IABC B MNCBA I ABC V V V V    

+) Mà

3

.

1 1 1 1 . . .3 . . . 3 2 3 2 2 I ABC

a V IB BA BC a a a   