Các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian - Trần Đình Cư

Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 7. KHOẢNG CÁCH ............................................................................................. 3

DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG ................................ 3

DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG ............................... 9

DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. ..................... 40

DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU ........................... 46

Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3

CHỦ ĐỀ 7. KHOẢNG CÁCH

DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

Phương Pháp

Cách xác định:

Việc dựng hình chiếu của một điểm trên đường thẳng trong không gian, ta có thể làm theo

2 cách sau:

 Dựng mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho. Rồi trên mặt phẳng đó qua điểm

đã cho dựng đoạn vuông góc từ điểm tới đường thẳng.

 Dựng một mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng, lúc đó giao

điểm của đường thẳng với mặt phẳng vừa dựng chính là hình chiếu của điểm trên đường

thẳng.

Tính toán: Sau khi đã xác định được khoảng cách cần tính, ta dùng các hệ thức lượng

trong tam giác, đa giác, đường tròn, … để tính toán.

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, AD b, AA' c   . Tính khoảng

cách từ điểm A đến đường thẳng BD’.

A.

2 2

2 2 2 a b c

a b c



 

B.

2 2

2 2 2 b b c

a b c



 

C.

2 2

2 2 2 c b c

a b c



 

D.

2 2

2 2 2 abc b c

a b c



 

Hướng dẫn giải

Do AB AD'  nên tam giác ABD’ vuông tại A. Trong tam giác ABD’ kẻ đường cao AH thì   AH d A,BD'  .

Trong ADD'  , ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 AD' AD DD' b c

BD' AB AD' a b c

   

    

Xét ABD'  , ta được:

2 2

2 2 2

AH.BD' AB.AD'

AB.AD' a b c AH BD' a b c



   

 

c

a

b

B'

C'

A'

A

D C

B

D'

H

Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 4

Vậy  

2 2

2 2 2 a b c d A,BD' AH

a b c

  

 

. Vậy chọn đáp án A.

Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình

chiếu của C’ trên mp(ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC’ hợp với mp(ABC) góc

60 . Gọi I là trung điểm của AB. Tính các khoảng cách:

Câu 2.1. Từ điểm O đến đường thẳng CC’

A. a

2 B. 3a

2 C. a

4 D. a

3

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, suy ra:   C'O ABC  , suy ra:

      ABC OC hch CC' CC', ABC C'CO   

Theo giả thiết, ta có: C'CO 60 

Trong mp(C’CO) dựng OH CC'  tại H ta được:   d O,CC' OH  .

Xét COH  2 a 3 3 a OH OC.sin30 . . 3 2 2 2    

Suy ra:   a d O,CC' 2  . Vậy chọn đáp án A.

Câu 2.2. Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng IC’

A. 2a 13

3 B. 3a 13

13 C. a 3

3 D. a 13

3

Hướng dẫn giải

Tính   d C,IC'

Trong mp(C’IC) dựng CK IC'  tại K ta được:   d C,IC' CK 

Xét OC'.CI CIC' OC'.CI CK.IC' CK IC'     

Mà a 3 a 3 OC' OC.tan60 . 3 a;CI 3 2    

2 2 2 2 2 2 a 13a IC' IO OC' a 12 12     

Nên  

a 3 a. 3a 3a 13 2 d C,IC' CK 13 a 13 13

2 3

    . Vậy chọn đáp án B.

Câu 2.3. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng A’B’

a

a a

60°

J

O I

B'

C'

A C

B

A'

K H