Tứ diện vuông và ứng dụng - Phạm Minh Tuấn

Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn

PHẦN 1 – ĐỊNH NGHĨA TỨ DIỆN VUÔNG

VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

A – ĐỊNH NGHĨA TỨ DIỆN VUÔNG:

Tứ diện OABC được gọi là tứ diện vuông khi tứ diện đó có OA, OB, OC đôi một vuông

góc với nhau.

Chú ý:

Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cạnh đối vuông góc nhau. Như thế ta thấy rằng tứ diện

vuông cũng l| một loại tứ diện trực t}m đặc biệt. Chính vì vậy tứ diện trực t}m có đầy đủ tính

chất của tứ diện trực tâm.

B. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG:

Cho tứ diện vuông SABC đỉnh S. Khi đó ta có:

1. Kẻ đường cao SH. Khi đó H l| trực tâm của tam giác ABC.

2. 2 2 2 2 1 1 1 1 SH SA SB SC    .

3. = ( Định lí Pytago trong không gian).

4. Tam giác ABC là tam giác nhọn.

Và rất nhiều các tính chất khác mà các bạn sẽ được tìm hiểu trong phần bài tập về tứ diện vuông

mà chúng tôi trình bày ở phần sau.

Chứng minh các tính chất nêu trên:

A

O C

B

Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn

Tính chất 1:

AH kéo dài cắt BC tại M, CH kéo dài cắt AB tại P.

Do   (1) SA SB SA SBC SA BC SA SC         

Vì   (2) SH ABC SH BC   

Từ (1) và (2) suy ra   BC SAH BC AM    .

Ho|n to|n tương tự ta chứng minh được CP vuông góc AB.

Từ đó ta có đpcm.

Tính chất 2:

Được chứng minh trong phần III.

Tính chất 3:

Trong (SBC) ta hạ SM vuông góc với BC.

Ta thấy rằng A, H, M thẳng hàng.

Tam giác SAM vuông tại S ta có: Suy ra:

Hay ta có:

2 . (1) SBC HBC ABC S S S 

Lý luận ho|n to|n tương tự ta có:

A

S

C

B H

P

M

Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn

2

2 . (2)

. (3)

SAB HAB ABC

SAC HAC ABC

S S S

S S S





Cộng từng vế (1), (2) v| (3) ta có đpcm.

Tính chất 4:

Thật vậy trong ta gi{c ABC theo định lí hàm cosin ta có:

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 0 2 . 2 . .

a b a c b c AB AC BC a A AB AC AB AC AB AC

          

Suy ra A nhọn.

Tương tự cho B và C.

PHẦN II – CÁC BÀI TẬP VỀ TỨ DIỆN VUÔNG

+ Vẽ MM’//OC ( ' M OB  ), ta có: OC//(AM’M)

+ Vẽ ' OH AM  ( ') OH AMM  

+ Vẽ HI//OC ( I AM  ), vẽ IJ//OH ( J OC  ) ta có IJ l| đoạn vuông góc chung của OC và AM.

Tam gi{c OAM’ vuông có OH l| đường cao nên: 2 2 2 1 1 1 ' OH OA OM  

Suy ra

2 2 4

ab IJ OH a b   

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc nhau từng đôi một với

, OA a OB b   . Gọi M là trung điểm BC. Vẽ và tính đoạn vuông góc chung của OC và AM.

J

I

M'

M

C

O

A B H

Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn

a) Gọi K l| trung điểm AC, ta có AB//(SKI). Do đó, khoảng cách giữa SI và AB bằng khoảng

cách từ A đến (SKI)

Vẽ AH SK  .Do ( ) AB SKA  nên AB AH 

Mà KI//AB nên AH KI  . Từ đó ta được ( ) AH SKI 

Vậy khoảng cách giữa SI v| AB l| đoạn AH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam gi{c vuông SAK,đường cao AH

2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 AH AK AS b h    

Vậy khoảng cách cần tìm là

2 2 4

bh AH b h  

b) Ta có . . BMIJ

BSCA

V BM BI BJ V BS BC BA 

Vẽ AL MJ  .Vì IJ//AC,mà ( ) AC SAB  nên ( ) IJ SAB 

Ta có AL nằm trong mp(ASB) nên IJ AL 

Vậy ( ) AL MIJ 

Mà AC//(MIJ) nên AL là khoảng cách giữa AC và MJ

Bài 2: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b. Trên đường vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA=h (h>0).M là điểm di động trên SB. Gọi J,I lần lượt là các trung điểm của BC và AB .

a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SI và AB. b) Tính tỉ số thể tích các hình MBIJ và BSCA khi độ dài đoạn vuông góc chung

của AC và MJ đạt giá trị lớn nhất

K

I

J

S

A

B

C M

L

H