Bài toán góc và khoảng cách trong đề tham khảo THPTQG 2020 môn Toán

NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

NHÓM VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

PHÂN TÍCH ĐỀ THAM KHẢO

NĂM HỌC 2019 - 2020

1 Phân tích

• Nhắc lại các cánh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b .

Cách 1: Dựng đoạn vuông góc chung (thường dùng khi hai đường vừa chéo và vuông góc)

Cách 2 : Quy về khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường

kia , cuối cùng là quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :

Cách 3 : Quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song mỗi mặt chứa một đường.

• Câu 37 đề thi tham khảo: Là bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

trong hình chóp có đường cao cho trước. Một bài ở mức độ Vận Dụng . Có hai ý tưởng nổi bật

trong bài :

⊕Thứ nhất : Là bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo và không vuông góc với

nhau : Một đường nằm trong mặt phẳng đáy và một đường là cạnh bên. Nên giải quyết vấn

đề khoảng cách này có lối mòn đối với học sinh thường dùng đó là cách 2 :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , d a b d a P d M P = = với : ( ) ( ) , / / , P b P a M a ⊃ ∈ .

Vì bài toán có chân đường cao cho trước nên : Đưa Về bài toán tính khoảng cách từ chân đường

cao đến mặt phẳng bên.

⊕ Thứ hai : Đáy của hình chóp là một hình thang rất hay , rất đặc biệt : từ đó dẫn đến đường

chéo vuông góc với cạnh bên , là rút ngắn cách tính khoảng cách.

2 Lời giải tham khảo Ngô Tú Hoa và Thoa Nguyễn

Câu 37: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang, 2 AB a = , AD DC CB a = = = . SA

vuông góc với đáy và 3 SA a = (minh họa hình dưới đây).

PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN CÂU 37 I.

NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng

A. 3

4 a . B. 3

2 a . C. 3 13

13

a . D. 6 13

13 a

Lời giải

Chọn A

Cách 1.

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / , , , DM SBC d DM SB d DM SBC d M SBC ⇒ = =

Ta có MA MB MD MC a = = = =

Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm M , đường kính AB .

Suy ra tam giác ABC vuông tại C

Như vậy ta có ( ) ( ) ( ) BC AC BC SAC SBC SAC BC SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥ 

Trong mặt phẳng ( ) SAC Dựng AH SC ⊥ tại H suy ra BC AH ⊥ ( ) AH SBC ⇒ ⊥

Nên ( ) ( ) , d A SBC AH =

NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3

NHÓM TOÁN VD – VDC

2 2 3 AC AB BC a = − = ; 2 2 2 3 SC SA AC a = + = . 3 2 SA AC AH a SC ⇒ = =

( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 , , 2 4 d M SBC d A SBC a ⇒ = =

Cách 2

Gọi = ∩ I AC DM , N là trung điểm của đoạn thẳng SA.

Dễ dàng chứng minh được ( ) ( ) // SBC MND .

Do đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = , , , , d SB DM d SBC MND d B MND d A MND .

Trong ( ) mp SAC kẻ ⊥ AH NI , mặt khác, ta chứng minh được ( ) ⊥ MI SAC

nên suy ra: ( ) ⊥ AH MND và = + ⇒ = 2 2 2 1 1 1 3

4

a AH AH AN AI

.

Vậy, ( ) ( ) ( ) = = = 3 , , 4

a d SB DM d A MND AH .

Hoặc Áp dụng công thức thể tích trong phần tính khoảng cách từ một điểm đến mặt

phẳng.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = . 3 1 3 , , , , 2 4

S ABC

SBC

V a d SB DM d SBC MND d M SBC d A SBC S

1. Ý tưởng 1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nằm trên hai mặt bên ,trong hình chóp có đường cao

Ý TƯỞNG V HƯỚNG PHÁT TRIỂN II.