Bài toán khoảng cách trong không gian - Nguyễn Tất Thu

Nguyễn Tất Thu

1

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

Nguyễn Tất Thu - GV Trường Chuyên Lương ThếVinh

Bài viết này sẽtrình bày cách tính khoảng cách từmột điểm đến mặt phẳng và khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Quy trình tính khoảng cách là chúng ta tìm cách

chuyển vềkhoảng cách từchân đường cao đến một mặt phẳng có giao tuyến với mặt đáy,

hoặc khoảng cách từmột điểm nằm trong mặt phẳng đáy đến một mặt phẳng chứa đường

cao của hình chóp. Với mô hình lăng trụ, ta chỉcần tách phần cần tính đểđưa vềmô hình

của hình chóp.

{ Bài toán 1. Khoảng cách từmột điểm đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từđiểm M đến mặt phẳng (α).

Lời giải.

Đểtính được khoảng từđiểm M đến mặt phẳng (α) ta có các cách sau:

1 Cách 1: Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (α) .

Đểxác định được vịtrí hình chiếu H ta có một sốlưu ý sau:

✓Chọn ¡ β ¢ chứa điểm M và (β) ⊥(α) , rồi xác định giao tuyến ∆= (α)∩ ¡ β ¢ .

Trong ¡ β ¢ dựng MH ⊥∆⇒MH ⊥(α).

✓Nếu trong (α) có hai điểm A,B sao cho MA = MB thì trong (α) kẻđường trung

trực d của đoạn AB, rồi trong mp(M,d) dựng MH ⊥d. Khi đó MH ⊥(α) (h.3)

Thật vậy, Gọi I là trung điểm của AB. Do MA = MB nên ∆MAB cân tại M,

suy ra MI ⊥AB ⊂(α). Lại có AB ⊥d ⇒AB ⊥mp(M,d) ⇒AB ⊥MH.

Vậy

 



MH ⊥AB

MH ⊥d ⇒MH ⊥(α).

✓Nếu trong (α) có một điểm A và một đường thẳng d không đi qua A sao

cho MA ⊥d thì trong (α) kẻđường thẳng d′ đi qua A và d′ ⊥d, rồi trong

mp ¡ M,d′¢ kẻMH ⊥d′ ⇒MH ⊥(α) (h. 4)

Thật vậy, do d ⊥d′ và d ⊥MA ⇒d ⊥mp ¡ M,d′¢ ⇒d ⊥MH.

Lại có MH ⊥d′ ⇒MH ⊥mp ¡ d,d′¢ ≡(α).

✓Nếu trong (α) có các điểm A1, A2,..., An (n ≥3) mà MA1 = MA2 = ··· = MAn

hoặc các đường thẳng MA1,MA2,...,MAn tạo với (α) các góc bằng nhau

thì hình chiếu của M trên (α) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

A1A2 ããã An.

✓Nếu trong (α) có các điểm A1, A2,..., An (n ≥3) mà các mặt phẳng

(MA1A2),(MA2A3), ...,(MAnA1) tạo với (α) các góc bằng nhau thì hình chiếu

của M là tâm đường tròn nội tiếp đa giác A1A2 ··· An.

Nguyễn Tất Thu

2

✓Nếu tứdiện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và có đường cao OH

thì 1 OH2 = 1 OA2 + 1 OB2 + 1 OC2 . (∗)

2 Cách 2: Sửdụng công thức thểtích: Xét một hình chóp có M là đỉnh, đáy nằm

trong mặt phẳng (α). Khi đó: d(M,(α)) = 3V

Sd .

3 Cách 3: Chuyển việc tính khoảng cách từM vềtính khoảng cách từđiểm N dễ

tính hơn bằng cách sửdụng các kết quảsau

✓Nếu MN//(α) thì d(M,(α)) = d(N,(α)).

✓Nếu MN ∩(α) = {I} thì d(M,(α)) = MI

NI ·d(N,(α)).

Khi sửdụng công thức chuyển điểm ta thường tìm cách chuyển vềchân đường

cao, với chú ý sau

Chú ý 1.

Cho hình chóp S.A1A2 ··· An có đường cao

SH.

✓KẻAiE ⊥HA j. Khi đó

d(Ai,(SHA j)) = AiE.

✓KẻHF ⊥AiA j, HK ⊥SF. Khi đó

d(H,(SAiA j)) = HK = HF · HS p

HF2 + HS2 .

E

A1

H F

K

S

A2 A3

A4

An

4 Cách 4: Gắn hệtrục tọa độOxyz và sửdụng công thức khoảng cách từđiểm đến

mặt phẳng.

Ta thường gắn hệtrục khi mô hình trong bài toán có ba cạnh xuất phát từmột

đỉnh và đôi một vuông góc.

□

Nguyễn Tất Thu

3

VÍ DỤ1 (Thi thử, SởGD và ĐT -Lạng Sơn, 2019). Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC

là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a p

3 2 . Khoảng cách từ

A đến (SBC) là

A. a p

6 4 . B. a p

3 2 . C. a p

6 3 . D. a p

2 2 .

Lời giải.

Đây là bài toán tính khoảng cách từchân đường cao của hình chóp đến mặt bên. Ta

áp dụng cách xửlí trong chú ý (1)

Gọi M là trung điểm của BC thì AM ⊥BC, AM = a p

3 2 .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SM, ta có AH ⊥

(SBC). Trong tam giác vuông SAM, ta có:

1 AH2 = 1 AS2 + 1 AM2 ⇒AH = a p

6 4 .

Vậy d(A,(SBC)) = AH = a p

6 4 .

S

H

M A

B

C

Chọn đáp án A □

VÍ DỤ2 (KSCL giữa HK2 Cụm trường THPT TP Nam Định).

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình

chữnhật với AB = a, AD = a p

3. Hình chiếu vuông góc

của A′ lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.

Khoảng cách từB′ đến mặt phẳng (A′BD) là

A. a

2. B. a p

3. C. a p

3 6 . D. a p

3 2 .

A′ B′

D′ C′

A

D C

B I

Lời giải.

Ta thấy mặt phẳng (A′BD) chứa đường cao A′I, nên ta gắn vào mô hình là hình chóp

có một mặt bên là (A′BD), nên …