Thể tích trong phân chia khối đa diện

NHÓM TOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2019 – 2020

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.

Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

THỂ TÍCH TRONG PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN

Trong các bài toán thể tích khối đa diện diện , một số bài toán vận dụng hoặc vận dụng cao thường đề cập đến việc phân chia đa diện , tính thể tích khối đa diện mới theo thể tích khối đa diện đã cho . Thầy cô cần tạo tình huống cho học trò có tư duy về việc so sánh thể tích các khối chóp , khối lăng trụ từ những tư duy đơn giản như so sánh đường cao , so sánh diện tích đáy để đi đến quyết định chuyển những khối đa diện khó tính thể tích thành những khối dễ hơn , dễ so sánh với khối ban đầu. Cũng cần tạo cho học sinh quen với các bài toán tính thể tích các khối không cơ bản như chóp hoặc lăng trụ bằng cách phân chia thể tích với yêu cầu học sinh quan sát tốt để phân chia khối đa diện thành những khối dễ tính hơn với giả thiết được cho , từ đó hình thành các kĩ năng tổng hợp và có phản xạ tốt trong những bài phân chia đa diện . Trong phần thể tích khối đa diện việc ra đề và ôn tập cho học sinh thường được chú trọng đến các bài toán về phân chia khối đa diện thành các phần khác nhau. Việc phân chia và tính toán khối đa diện thường dựa vào tỷ số thể tích, dựa vào việc dựng thiết diện, dựa vào việc lấy thêm điểm thỏa mãn các hệ thức tỷ số hoặc vecto… A. CÁC CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ÁP DỤNG

Bài toán 1. Cho hình chóp .S ABC . Một mặt phẳng  P cắt các cạnh , , SA SB SC lần lượt tại

, , M N P như hình vẽ bên.

Khi đó ta có các kết quả sau: .

.

. . S MNP

S ABC

V SM SN SP V SA SB SC 

Bài toán 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành, một mặt phẳng  P cắt các cạnh

, , , SA SB SC SD lần lượt tại , , , M N P Q như hình vẽ bên.

D A

B C

S

M

N

Q

P

NHÓM TOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2019 – 2020

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.

Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

Đặt , , , SA SB SC SD x y z t SM SN SP SQ    . Khi đó ta có các kết quả sau:

+ x z y t   

+

.

. 4

S MNPQ

S ABCD

V x y z t V xyzt    

Bài toán 3. Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . Một mặt phẳng  P cắt các cạnh bên

', ', ' AA BB CC lần lượt tại , , M N P như hình vẽ bên.

Đặt , , A M B N C P x y z AA BB CC         

Khi đó ta có . ' ' '

. ' ' ' 3

MNP A B C

ABC A B C

V x y z V

  

Bài toán 4. Cho hình lăng trụ . ' ' 'D' ABCD A B C . Một mặt phẳng  P cắt các cạnh bên

', ', ',DD' AA BB CC lần lượt tại , , , M N P Q như hình vẽ bên.

Đặt , , , DD AM BN CP DQ x y z t AA BB CC        

.

Khi đó ta có + . x z y t   

+

. ' ' ' ' 4 2 2

ABCDMNQP

ABCD A B C D

V x y z t x z y t V

       

B. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Bài toán 1. CHIA HÌNH CHÓP, HÌNH LĂNG TRỤ THÀNH 2 PHẦN BỞI MỘT MẶT PHẲNG

CHO TRƯỚC. TÍNH THỂ TÍCH MỘT TRONG HAI PHẦN HAY TỈ SỐ THỂ TÍCH

NHÓM TOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2019 – 2020

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.

Trang 3

NHÓM TOÁN VD – VDC

Ví dụ minh họa 1: Cho hình chóp .S ABC và G là trọng tâm tam giác ABC. Với hai số thực

,x y thay đổi và tập hợp các điểm M thỏa mãn GM xSB yAC     

là mặt phẳng ( ) P . Tính tỉ

số thể tích hai phần của khối chóp .S ABC được phân chia bởi  mp P .

A. 7

20 . B. 1

3 . C. 8

27 . D. 2

5 .

Lời giải

Chọn A

Với hai số thực ,x y thay đổi và tập hợp các điểm M thỏa mãn GM xSB yAC     

là mặt

phẳng ( ) P đi qua G và song song song với SA; BC . Nên thiết diện khi cắt hình chóp .S ABC

bởi  P là hình bình hành EFHK như hình vẽ.

Gọi 1 2 , , V V V lần lượt là thể tích của khối chóp .S ABC , khối đa diện SAEFHK và BCEFHK

Ta có 2 . . H BCEF K HCF V V V           , , 1 1 5 1 2 1 . . . . 3 3 9 3 3 9 ABC SAC S ABC B SAC d S d S  

5 2 7 27 27 27 V V V   

1

2

20 27

7 27

V V

V V

   

  

. Chọn A.

Ví dụ minh họa 2: Cho khối lăng trụ . ABC A B C . Gọi E là trọng tâm tam giác A B C và F là trung điểm BC . Tính tỉ số thể tích giữa khối . B EAF  và khối lăng trụ . ABC A B C .

A. 1

4 . B. 1

8 . C. 1

5 . D. 1

6 .

Lời giải

Chọn …