Chuyên đề Số phức - Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

281

 Chuyên đề 9: SỐ PHỨC

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. SỐ PHỨC z = a + ib với i2 = 1 a, b  a là phần thực b là phần ảo Số phức liên hợp của z là:   z a ib 2. MÔĐUN z = a + ib (a; b  )

Môđun:    2 2 z a b zz

3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: z = a + ib (a, b  )

M(a; b) là ảnh của z:    2 2 OM r a b môđun của z

 (Ox,OM)  + k  2 là Argument của z, argz =

4. DẠNG LƯỢNG GIÁC z = r(cos + isin) z = rei r = z  = argz 5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC  Phép cộng: z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)  Phép trừ: z1  z2 = (a1  a2) + i(b1  b2)  Phép nhân: z1.z2 = (a1a2 + b1b2) + i(a1b2 + a2b1)

 Phép chia:     



1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2

z z z a a b b i(a b a b ) z a b z

Với dạng lượng giác: z1z2 = rr'[cos( + ) + isin( + )] = rr'ei( + )

  i( ) 1

2

z r r cos( ) isin( ) e z r r

      

6. LŨY THỪA SỐ PHỨC z = r (cos + isin) zn = rn(cosn + isinn) công thức de Moirve zn =rnein

7. CĂN BẬC n z = r (cos + isin) = rei (r > 0)

       

                       



n n

k2n i n n n n

k2n k2n z r cos isin n n n n

z re

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học

282

B. ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Tìm tất cả các số phức z, biết 2 2 z z z   .

Giải

Giả sử z = x + yi với x, y  R .

Ta có: 2 2 2 2 2 z z z (x iy) x y x iy        

2 2 2 2 x y 2xyi x y x yi       



2 2 2 2 2 x 2y x y x x y

1 y 2xy y 0 x 2

                  

2 4y 1 x 0

1 y 0 x 2

            

1 1 x x x 0 2 2 y 0 1 1 y y 2 2

                         

.

Vậy 1 1 1 1 z 0, z i, z i 2 2 2 2      .

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Tính môđun của số phức z, biết      2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i        .

Giải

Giả sử z = x + yi với x, y  R.

Ta có:      2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i       

        2 x yi 1 1 i x yi 1 1 i 2 2i                  

3x 3y 2 x y 0      



1 x 3

1 y 3

   

. Suy ra: z = 1 1 i 3 3 

Do đó: 1 1 2 z 9 9 3    .

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Tìm số phức z, biết 5 i 3 z 1 0 z    .

Giải

Giả sử z = x + yi .

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

283

Ta có: 5 i 3 z 1 0 z       zz 5 i 3 z 0    

    2 2 x y 5 i 3 x yi 0          2 2 x y x 5 y 3 i 0      



2 2 x y x 5 0

y 3 0

     

  



2 x x 2 0

y 3

    

 



x 1 x 2

y 3

   

.

Vậy z 1 i 3  hoặc z 2 i 3   .

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3 1 i 3 z 1 i

         

.

Giải Cách 1:

Ta có: z =

2 3

2 3 1 3i 3 9i 3 3i

1 3i 3i i

  

  

= 1 3i 3 9 3 3i 1 3i 3 i       = 4 i 1 

=   2 4 i 1

i 1

 



=2 + 2i

Vậy số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là 2. Cách 2: Có thể giải bằng cách chuyển về dạng lượng giác như sau:

Ta có:

3 2 cos isin 3 3 z

2 cos isin 4 4

                              

= cos isin 2 2 3 3 cos isin 4 4

    

= 3 3 2 2 cos isin 4 4                      

= 2 2 cos isin 2 2i 4 4           

.

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Tìm số phức z, biết   z 2 3i z 1 9i    .

Giải Gọi z = x + yi với x, y  R.

Ta có:   z 2 3i z 1 9i     (x + yi) – (2 + 3i)(x – yi) = 1 – 9i

 (x + yi) – (2x – 2yi + 3xi + 3y) = 1 – 9i

 (–x – 3y) + (3y – 3x)i = 1 – 9i  x 3y 1 3y 3x 9       

x 2 y 1    

.

Vậy z = 2 – i. Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Cho số phức z thoả mãn (1+2i)2z + z = 4i – 20. Tính môđun của z.