Kỹ thuật tạo số phức liên hợp giải nhanh bài toán số phức vận dụng cao - Nguyễn Minh Tuấn

KỸTHUẬT TẠO SỐPHỨC LIÊN HỢP

NGUYỄN MINH TUẤN - POPEYE NGUYỄN

Đây là một kỹthuật tưởng chừng như đơn giản nhưng nhờđó ta lại có thểgiải quyết được rất

nhiều những bài toán vận dụng cao của sốphức một cách nhanh chóng.

Một sốcông thức liên can

1. z + z = 2R(z), z = z

2. z = z khi z là sốthực

3. z −z

2i = I(z)

4. z ± z′ = z ± z, z.z′ = z.z′, z z′ = z

z′

5. z.z = |z|2, vậy nếu |z| = 1 thì 1

z = z

Câu 1. Cho sốphức z ̸= 1 thỏa mãn z +1

z −1 là sốthuần ảo. Tìm |z| ?

A. |z| = 1 B. |z| = 1

2 C. |z| = 2 D. |z| = 4

GIẢI. Từgiảthiết ta có z +1

z −1 + z +1

z −1 = 0 ⇐⇒z +1

z −1 + z +1

z −1 = 0 = ⇐⇒2z.z−2 = 0 ⇐⇒|z| = 1. Chọn A.

Câu 2. Cho sốphức z thỏa mãn |z| = 5 và iz +4 là sốthuần ảo, tìm sốphức nghịch đảo của z ?

A. z−1 = 3

25 + 4

25 i B. z−1 = 3

25 −4

25 i C. z−1 = 4

25 −3

25 i D. z−1 = 4

25 + 3

25 i

GIẢI. Từgiảthiết ta có iz +4+ iz +4 = 0 ⇐⇒iz −iz +8 = 0 ⇐⇒2I(z)i2 +8 = 0 ⇐⇒I(z) = 4

Như vậy R(z) = ±3. Trong các đáp án trên thì có B thỏa mãn z−1 là đúng.

Câu 3. Cho sốphức z ̸= 1 và |z| = 1. Tìm phần thực của sốphức 1 1−z ?

A. 2 B. −2 C. −1

2 D. 1

2

GIẢI. Ta có 2R µ 1 1−z

¶ = 1 1−z + 1 1−z = 1 1−z + 1 1−z = 2−z −z 1−z −z + z.z = 1.

Vậy 2R µ 1 1−z

¶ = 1 ⇐⇒R µ 1 1−z

¶ = 1

2. Chọn đáp án D

Câu 4. Cho z là sốphức thực sựvà thỏa mãn 1 |z|−z có phần thực bằng 4. Tính |z| ?

A. |z| = 1

4 B. |z| = 1

8 C. |z| = 4 D. |z| = 1

16

GIẢI. Từgiảthiết ta có 1 |z|−z + 1 |z|−z = 8 ⇐⇒ 1 |z|−z + 1 |z|−z = 8 ⇐⇒ 2|z|−z −z |z|2 −|z|(z + z)+ z.z = 8 ⇐⇒

1 |z| = 8 ⇐⇒|z| = 1

8. Chọn B

Câu 5. Cho hai sốphức z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2| = 1 và z1z2 ̸= 1. Tìm phần ảo của sốphức w = z1 + z2 1+ z1z2 ?

A. Phần ảo bằng 1 B. Phần ảo bằng -1

C. Phần ảo bằng 0 D. Phần ảo lớn hơn 1

NGUYỄN MINH TUẤN - POPEYE NGUYỄN 1 Trang 1/6 - Mã đềthi 69

GIẢI. Vì |z1| = |z2| = 1 nên 1

z1 = z1, 1

z2 = z2. Ta có z1 + z2

1+ z1z2 =

1 z1 + 1

z2

1+ 1

z1 . 1

z2

= z1 + z2

1+ z1.z2 = z1 + z2

1+ z1z2 . Vậy w

là sốthực, chọn C.

Câu 6. Cho ba sốphức a,b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và |a| = |b| = |c| = 1. Đặt w = a2 + b2 + c2. Hỏi

khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. w là sốthực không âm B. w = 0

C. w là sốthuần ảo D. w là sốthực dương

GIẢI. Ta có w = (a+b+c)2−2(ab+bc+ca) = −2abc µ1

a + 1

b + 1

c

¶ = −2abc(a+b+c) = −2abc.a+ b + c = 0.

Vậy chọn B.

Câu 7. Cho z là sốphức thực sựvà thỏa mãn 1+ z + z2

1−z + z2 là sốthực. Tìm modulus của sốphức z ?

A. |z| = p

2 B. |z| = p

3 C. |z| = 1 D. |z| = 1 p

2

GIẢI. Ta có 1+ z + z2

1−z + z2 = 1+2 z 1−z + z2. Đểnó là sốthực thì z 1−z + z2 ∈R hay 1−z + z2

z ∈R. Tức là

1−z + z2

z = 1−z + z2

z ⇐⇒1−z + z2

z = 1−z + z2

z ⇐⇒|z|2(z −z) = z −z ⇐⇒|z| = 1

. Chọn đáp án C

Câu 8. Cho sốphức z thỏa mãn z6 −z5 + z4 −z3 + z2 −z + 1 = 0. Tìm phần thực của sốphức w =

z(z2 −z +1)

A. 1 B. 0 C. 1

2 D. 2

GIẢI. Từgiảthiết ta có z7 +1

z +1 = 0 ⇐⇒z7 = −1 hay suy ra |z| = 1. Ta lại có từgiảthiết z(z2 −z +

1)(z3 −1)+1 = 0 ⇐⇒w = 1 1−z3. Chú ý rằng |z3| = 1 theo kết quảcâu 3 ta có ngay R(w) = 1

2. Chọn

đáp án C.

Câu 9. Cho sốphức z thỏa mãn ¯¯¯¯z + 1

z

¯¯¯¯ = 2 p

3. Tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của |z| ?

A. max|z| = 2+ p

3, min|z| = 2− p

3 B. max|z| = 1+ p

3, min|z| = 2− p

3

C. max|z| = 3+ p

3, min|z| = 4− p

3 D. max|z| = 2+ p

3, min|z| = 4− p

3

GIẢI. Ta có ¯¯¯¯z + 1

z

¯¯¯¯

2 = 12 ⇐⇒ µ z + 1

z

¶µ

z + 1

z

¶ = 12 ⇐⇒|z|4 +(z + z)2 −2|z|2 +1

|z|2 = 12 ≥|z|4 −2|z|2 +1

|z|2 .

Ta có đánh giá này vì tất cảđều là sốthực. Vậy |z|4−2|z|2+1 ≤12|z|2 ⇐⇒7−4 p

3 ≤|z|2 ≤7+4 p

3 ⇐⇒

2− p

3 ≤|z| ≤2+ p

3. Chọn đáp án A

Lời kết: Các bài toán trên đều ởmức vận dụng cao, rất cao. Thông qua kỹthuật nhỏtrên, tác

giảhy vọng các em sẽvận dụng linh hoạt các công thức biến đổi của sốphức đểtìm ra lời giải

một cách ngắn gọn nhất. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng inbox vào tài khoản Facebook: Popeye

Nguyễn. Xin cảm ơn

NGUYỄN MINH TUẤN - POPEYE NGUYỄN 2 Trang 2/6 - Mã đềthi 69