Kỹ thuật CHỌN trong trắc nghiệm tích phân và số phức - Trần Lê Quyền

Kỹthuật ‘chọn’ trong trắc nghiệm tích phân và sốphức

Gv. Trần Lê Quyền0

Một nguyên tắc cơ bản khi xây dựng nên các bài toán đại sốchính là: thiết lập sựcân bằng giữa sốẩn sốvà sốphương trình lập nên từcác dữkiện. Lấy ý tưởng đó, bài viết này tổng hợp và giới thiệu vài cách xửlí nhanh một số bài toán sốphức và tích phân bằng một kiểu chọn đặc biệt. Tôi cốtình không phân chia ra các đềmục đểtách biệt giữa sốphức và tích phân vì xét dưới góc nhìn này, chúng hoàn toàn giống nhau!

Ví dụ1. Cho hai sốphức z1 = a1 + b1i và z2 = a2 + b2i (a1, b1.a2, b2 ∈R) thỏa mãn |z1 + z2| = |z1 −z2| = m. Khi đó a1a2 + b1b2 bằng

A. 0 B. 1 C. m D. m2 −1

Giải. Chọn z1 = i, z2 = 0 thỏa mãn |z1 + z2| = |z1 −z2| = 1 thì ta có

a1a2 + b1b2 = 0.0 + 1.0 = 0.

Chọn A.

Ví dụ2. Cho hai sốphức z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2| = |z1 −z2| = 1. Tính giá trịcủa

biểu thức P = z1

z2

2 + z2

z1

2 .

A. 1 −i B. −1 −i C. −1 D. 1 + i

Giải. Chọn z2 = 1 (thỏa mãn |z2| = 1). Vẫn còn lại 2 dữkiện đểkhai thác, thếnên đặt z1 = x + yi (x, y ∈R), ta có  

 |z1| = 1

|z1 −z2| = 1 ⇔

 

 x2 + y2 = 1

(x −1)2 + y2 = 1 ⇒

  

 

x = 1

2

y =

√

3 2

Vậy chọn z1 = 1

2 +

√

3 2 i. Bây giờthay vào P,

P =

1

2 + √

3 2 i 1

!2

+

1

1 2 + √

3 2 i

!2 = −1.

Chọn C.

0Nhận luyện thi theo nhóm hoặc cá nhân khu vực Q6, TP.HCM 01226678435

1

Sau khi cốđịnh z2, chúng ta vẫn còn lại 2 dữkiện (cho phép lập được 2 phương trình). Sốphương trình này cân bằng với sốẩn số(phần thực, phần ảo) cần đểxác định z1. Ngoài ra, có thểchọn z2 khác đi, miễn sao đảm bảo |z2| = 1. Dưới đây là một ví dụhoàn toàn tương tự1 nhưng được phát biểu khác đi.

Ví dụ3. Cho z1, z2 là hai sốphức thoảmãn phương trình |2z −i| = |2 + iz|, biết |z1 −z2| = 1. Tính giá trịcủa biểu thức P = |z1 + z2|.

A.

√

3 2 B. √

2 C.

√

2 2 D. √

3

Giải. Đặt z = x + yi, từliên hệ|2z −i| = |2 + iz| ta thu được x2 + y2 = 1 hay

|z1| = |z2| = 1, kết hợp với |z1 −z2| = 1 ta lại chọn z1 = 1

2 +

√

3 2 i, z2 = 1 đểthu được

P = √

3.

Ví dụ4. Cho ba sốphức z1, z2, z3 thỏa mãn z1 + z2 + z3 = 0 và |z1| = |z2| = |z3| = 1. Mệnh đềnào dưới đây đúng?

A. |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 là sốthuần ảo. B. |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 là sốnguyên tố. C. |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 là sốthực âm. D. |z1 + z2|2 + |z2 + z3|2 + |z3 + z1|2 = 1.

Giải. Chọn z3 = 1, khi đó ta có z1 + z2 = −1 nên có thểviết

z1 = x + yi, z2 = −1 −x −yi (x, y ∈R).

Khai thác điều kiện |z1| = |z2| = 1 đưa tới giải hệ

 

 x2 + y2 = 1

(−1 −x)2 + y2 = 1 ⇒

  

 

x = −1

2

y =

√

3 2

Vậy chọn z1 = 1, z2 = −1

2 +

√

3 2 i, z3 = −1

2 −

√

3 2 i, thấy chỉcó B đúng.

Với cùng cách chọn này, ta cũng xửlí được cho bài toán sau:

Ví dụ5. Cho ba sốphức z1, z2, z3 thỏa mãn z1 +z2 +z3 = 0 và |z1| = |z2| = |z3|. Mệnh đềnào dưới đây đúng?

A. |z2 1 + z2 2 + z2 3| = |z1z2 + z2z3 + z3z1| B. |z2 1 + z2 2 + z2 3| < |z1z2 + z2z3 + z3z1| C. |z2 1 + z2 2 + z2 3| > |z1z2 + z2z3 + z3z1| D. |z2 1 + z2 2 + z2 3| ̸= |z1z2 + z2z3 + z3z1|

Ví dụ6. Cho sốphức z thỏa mãn z3 + 1

z3

≤2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số

2