Số phức và các dạng toán - Phùng Hoàng Em

Chương 4

SỐPHỨC VÀ CÁC DẠNG TOÁN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Sốphức và các khái niệm liên quan

1. Cho sốphức z = a + bi (a, b ∈R). Khi đó:

A a là phần thực, b là phần ảo.

A i là đơn vịảo, i2 = −1.

A Nếu a = 0 thì z là sốthuần ảo.

A Nếu b = 0 thì z là một sốthực.

2. Quan hệgiữa các tập hợp số:

A Tập sốphức kí hiệu là C.

A Quan hệcác tập hợp số: N ⊂Z ⊂Q ⊂R ⊂C.

3. Hai sốphức bằng nhau: Cho z1 = a + bi và z2 = c + di (a, b, c, d ∈R). Khi đó:

A z1 = z2 ⇔

( a = c

b = d . A z1 = 0 ⇔

( a = 0

b = 0 .

4. Biểu diễn hình học của sốphức

Mỗi sốphức z = a + bi được biểu diễn bởi duy nhất một điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ.

O x

y

b

a

M

5. Mô-đun sốphức:

A Độdài của véc-tơ # » OM được gọi là mô-đun của sốphức z và kí hiệu là |z|.

A Từđịnh nghĩa, suy ra |z| = p

a2 + b2 hay |a + bi| = p

a2 + b2 .

Tính chất:

A |z| ≥0, ∀z ∈C; |z| = 0 ⇔z = 0.

A |z.z′| = |z|. |z′|.

A

z

z′

= |z|

|z′|.

A ||z| −|z′|| ≤|z ± z′| ≤|z| + |z′|.

1

GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐPHỨC

6. Sốphức liên hợp: Cho sốphức z = a + bi (a, b ∈R).

A Ta gọi a −bi là sốphức liên hợp của z và kí hiệu là z.

A Vậy, z = a −bi hay a + bi = a −bi

A Chú ý: z.z = |z|2 = a2 + b2

O x

y

b

a

z = a + bi

−b z = a −bi

2. Phép toán trên sốphức

1. Cộng, trừhai sốphức: Ta cộng (trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần ảo.

A (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. A (a + bi) −(c + di) = (a −c) + (b −d)i.

2. Phép nhân hai sốphức: Ta nhân phân phối, tương tựnhân hai đa thức. Lưu ý: i2 = −1.

(a + bi)(c + di) = (ac −bd) + (ad + bc)i

3. Phép chia hai sốphức: Cho hai sốphức z1 = a + bi và z2 = c + di. Thực hiện phép chia z1

z2 , ta nhân thêm z2 ởtửvà mẫu.

z1 z2 = z1.z2

z2.z2 = (a + bi) (c −di)

c2 + d2 = (ac + bd) −(ad −bc)i

c2 + d2 = m + ni.

4. Sốphức nghịch đảo của z là 1

z .

5. Lũy thừa của đơn vịảo:

A i2 = −1.

A i3 = −i.

A in = 1 nếu n chia hết cho 4.

A in = i nếu n chia 4 dư 1.

A in = −1 nếu n chia 4 dư 2.

A in = −i nếu n chia 4 dư 3.

3. Phương trình bậc hai với hệsốthực

Xét phương trình ax2 + bx + c = 0, với a, b, c ∈R và a ̸= 0. Đặt ∆= b2 −4ac, khi đó:

1. Nếu ∆≥0 thì phương trình có nghiệm x1,2 = −b ± √

∆ 2a .

2. Nếu ∆< 0 thì phương trình có nghiệm x1,2 = −b ± i p

|∆| 2a .

3. Định lý Viet: x1 + x2 = −b

a và x1.x2 = c

a

GV: PHÙNG HOÀNG EM 2

GIẢI TÍCH 12 Chương IV. SỐPHỨC

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

| Dạng 1. Xác định các đại lượng liên quan đến sốphức

1. Biến đổi sốphức z vềdạng A + Bi

2. Khi đó:

A Phần thực là A;

A Phần ảo là B;

A Sốphức liên hợp là A + Bi = A −Bi;

A Mô - đun bằng √

A2 + B2

M Ví dụ1. Xác định phần thực và phần ảo của sốphức z, biết:

z = (2 + 3i) + (5 −3i) a) z = (3 + 2i)2 b) z = (2 + i)(1 −2i) + 2i 1 + i c)

p Lời giải:

z = (2 + 3i) + (5 −3i) = (2 + 5) + (3 −3)i = 7. Phần thực là 7, phần ảo là 0. a)

z = (3 + 2i)2 = 9 + 12i + 4i2 = 9 + 12i −4 = 5 + 12i. Phần thực là 5, phần ảo là 12. b)

z = (2 −4i + i −2i2) + 2i (1 −i) (1 + i)(1 −i) = (4 −3i) + 2i + 2

2

= 5 −2i. Phần thực là 5; phần ảo là

−2.

c)

M Ví dụ2. Tìm nghịch đảo của sốphức z = 2 −3i.

p Lời giải:

A Nghịch đảo của z là 1

z . Ta có: 1

z = 1 2 −3i = 2 + 3i 22 + (−3)2 = 2

13 + 3

13i

M Ví dụ3. Tìm phần thực và phần ảo của sốphức z =

1 + i √

3 1 + i

!3 .

p Lời giải:

A Ta có z =

1 + i √

3 1 + i

!3 = 1 + 3 √

3i + 3( √

3i)2 + ( √

3i)3

2i(1 + i)

= 1 + 3 √

3i −9 −3 √

3i −2 + 2i = −8 −2 + 2i = −8(−2 −2i)

8 = 2 + 2i.

A Vậy sốphức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2.

M Ví dụ4. Cho z1 = 3 + i và z2 = 2 −3i. Tính:

z1 ; a)

z2 ; b)

z1 + z1z2 . c)

p Lời giải:

GV: PHÙNG HOÀNG EM 3