Tài liệu tự học chủ đề số phức - Trần Quốc Nghĩa

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 1

SỐ PHỨC

Vấn đề 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

1. Khái niệm số phức

 Định nghĩa 1. Một số phức là một biểu thức dạng a bi  trong đó a , b là các số thực và số

i thỏa mãn 2 1 i . Kí hiệu số phức là z và viết z a bi   , trong đó:  i được gọi là đơn vị ảo.  a được gọi là phần thực.  b được gọi là phần ảo.

 Chú ý: các trường hợp đặc biệt:

 Số phức 0 z a i   có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là: 0 a i a   , a     Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là thuần ảo):

0 ( ) z bi bi b    

 Số 0 0 0 0 i i    vừa là số thực vứa là số ảo.

 Định nghĩa 2. Hai số phức z a bi   và z a b i      (a , b , a, b) bằng nhau khi và chỉ khi a a  và b b  . Khi đó ta viết z z  .  Định nghĩa 3. Với mỗi số phức z a bi   (a, b) ta luôn có số phức z a bi  ( a , b) là số đối của số phức z .

2. Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z a bi   (a , b) được biểu diễn bởi điểm   ; M a b . Khi đó, ta thường viết

  M a bi  hay  M z . Gốc O biểu diễn số 0 .

Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức:

 Trục Ox gọi là trục thực.  Trục Oy gọi là trục ảo.

3. Phép cộng và phép trừ số phức

 Định nghĩa 4. Tổng hai số phức 1 1 1 z a b i   , 2 2 2 z a b i   với   1 1 2 2 , , , a b a b  là số

phức    1 2 1 2 1 2 z z z a a b b i      

Như vậy để cộng hai số phức ta lấy thực cộng thực, ảo cộng ảo.  Tính chất của phép cộng số phức:

 Kết hợp:     1 2 3 1 2 3 z z z z z z      ,  1z , 2z , 3z 

 Giao hoán: 1 2 2 1 z z z z    ,  1z , 2z 

 Cộng với 0 : 0 0 z z z     , z 

 Cộng với số đối:   – – 0 z z z z    

 Định nghĩa 5.

Hiệu hai số phức 1 1 1 z a b i   , 2 2 2 z a b i   với   1 1 2 2 , , , a b a b  là tổng của 1z với 2 –z ,

tức là:    1 2 1 2 1 2 z z z a a b b i      

Như vậy để trừ hai số phức ta lấy thực trừ thực, ảo trừ ảo.  Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:

4 Chủ đề

O a x

b

y

M

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – SỐ PHỨC 2

Mỗi số phức 1 1 1 z a b i   (a , b) được biểu diễn bởi điểm   ; M a b cũng có nghĩa là

vectơ OM



. Khi đó, nếu 1u, 2 u theo thứ tự biểu diễn số phức 1z và 2z thì:

 1 2 u u    biểu diễn số phức 1 2 z z  .

 1 2 u u    biểu diễn số phức 1 2 – z z .

4. Phép nhân số phức

 Định nghĩa 6. Tích hai số phức 1 1 1 z a b i   , 2 2 2 z a b i   với   1 1 2 2 , , , a b a b  là số

phức:    1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z z a a b b a b a b i     

 Nhận xét:

 k , mọi số phức a bi  (a , b), ta có   k a bi ka kbi   

 0 0 z  với mọi số phức z .  Tính chất của phép nhân số phức:

 Kết hợp:     1 2 3 1 2 3 . . . . z z z z z z  ,  1z , 2z , 3z 

 Giao hoán: 1 2 2 1 . . z z z z  ,  1z , 2z 

 Nhân với 1: 1. .1 z z z   , z 

 Phân phối:   1 2 3 1 2 1 3 . . . z z z z z z z    ,  1z , 2z , 3z 

5. Số phức liên hợp và môđun của số phức

 Định nghĩa 7. Số phức liên hợp của z a bi   , (với , ) a blà – a bi và được kí hiệu bởi

z . Như vậy, ta có: z a bi a bi     .  Nhận xét:

 Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z z  . Vì thế người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau.  Hai số phức liên hợp nhau khi và chi khi các điểm biểu diễn

của chúng đối xứng nhau qua trục Ox  Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.  Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.  Tính chất:

 Với mọi 1z , 2z , ta có: 1 2 1 2 z z z z    ; 1 2 1 2 . . z z z z 

 Với mọi z , số .z z luôn là một số thực, và nếu z a bi   , (với , ) a b thì:

2 2 zz a b   .  Định nghĩa 8.

Môđun của số phức z a bi   , (với , ) a b là số thực không

âm 2 2 a b  và được kí hiện là z .

z a bi   , (với , ) a b 2 2 . z OM z z a b       

 Nhận xét:

 Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực …