Trắc nghiệm nâng cao số phức - Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

A - LÝ THUYẾT CHUNG

1. Định nghĩa

- Một biểu thức dạng  a bi với 2 , , 1   a b R i được gọi là một số phức.

- Đối với số phức ,   z a bi ta nói a là phần thực, b là phần ảo của .z

- Tập hợp số phức kí hiệu là 

2. Hai số phức bằng nhau

- Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

- Công thức:       

a c a bi c di b d

Biểu diễn hình học của số phức.

- Điểm   ; M a b trong hệ tọa độ vuông góc Oxy được gọi là điểm biểu diễn của số phức .   z a bi

Môđun của số phức.

- Cho số phức   z a bi có điểm biểu diễn là   ; M a b trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Độ dài của

véctơ

 OM được gọi là mô đun của số phức z và kí hiệu là . z

- Công thức 2 2.       z OM a bi a b

3. Số phức liên hợp

- Cho số phức ,   z a bi số phức dạng   z a bi được gọi là số phức liên hợp của .z

Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia.

- Cho số phức 1 2 , ,    z a bi z c di ta có       1 2 .          z z a bi c di a c b d i

- Cho số phức 1 2 , ,    z a bi z c di ta có       1 2 .          z z a bi c di a c b d i

- Cho số phức 1 2 , ,    z a bi z c di ta có       1 2 . . .        z z a bi c di ac bd ad bc i

- Cho số phức 1 2 , ,    z a bi z c di (với 2 0  z ) tacó:

     

    1 2 2 2 2 2

.               a bi c di ac bd bc ad z a bi i z c di c di c di c d c d

Phương trình bậc hai với hệ số thực. Cho phương trình bậc hai 2 ax 0    bx c với , ,  a b c R và 0.  a Phương trình này có biệt thức

2 4 ,   b ac nếu:

- 0  phương trình có nghiệm thực . 2 b x a

- 0  phương trình có hai nghiệm thực phân biệt 1,2 . 2    b x a

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Số Phức Nâng Cao

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

- 0  phương trình có hai nghiệm phức 1,2 . 2    b i x a

4. Acgumen của số phức 0  z

ĐỊNH NGHĨA 1 Cho số phức 0  z . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu , Ox tia cuối OM được gọi là acgumen của .z CHÚ Ý Nếu  là một acgumen của z (hình dưới) thì gọi acgumen của z có dạng 2 , .     k k Z (người ta thường nói: Acgumen của 0  z xác định sai khác 2 ,   k k Z ).

5. Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức   0 , .     z a bi a b  Kí hiệu r là mô đun của z và  của một acgumen của z

(hình dưới) thì dễ thấy rằng: cos , sin .     a r b r

Vậy 0    z a bi có thể viết dưới dạng   cos + sin .    z r i

ĐỊNH NGHĨA Dạng   cos + sin    z r i , trong đó 0,  r được gọi là dạng lượng giác của số phức 0.  z

Dạng   0 ,     z a bi a b , được gọi là dạng đại số của số phức .z

Nhận xét. Để tìm dạng lượng giác   cos + sin    z r i của số phức   0 ,     z a bi a b khác 0 cho trước ta cần:

1. Tìm : r đó là mô đun của 2 2 , ;   z r a b số r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.

2. Tìm :  đó là một acgumen của ;  z là số thực sao cho cos =  a r và sin ; b

r số  đó cũng là

số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối . OM

CHÚ Ý

1. 1  Z khi và chỉ khi   os + sin ; .     Z c i 

2. Khi 0  z thì 0   z r nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là số

thực tùy ý và vẫn viết   0 0 os + sin .    c i

3. Cần để ý đòi hỏi 0  r trong dạng lượng giác   os + sin   r c i của số phức 0.  z

6. Nhân và chia số phức lượng giác

Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là định lý …