Bài toán min - max số phức có lời giải chi tiết - Lương Văn Huy

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404

1

BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC. NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018. Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ các trường trên toàn quốc và của quý thầy cô trong nhóm Vận

Dụng Cao. Kỹ năng:

 Phương pháp đại số.  Phương pháp hình học.  Phương pháp bđt modun.  Phương pháp casio.

Một số tính chất cần nhớ. 1. Môđun của số phức:

 Số phức   z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ

 OM

được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2 z = a + bi = a + b

 Tính chất

 2 2    

 z a b zz OM  0, , 0 0       z z z z

 . ' . '  z z z z    , ' 0 ' '   z z z z z

 ' ' '      z z z z z z

 . ,   kz k z k

 Chú ý:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 .            z a b abi a b a b a b z z z z.

Lưu ý:

 1 2 1 2    z z z z dấu bằng xảy ra   1 2 0    z kz k

 1 2 1 2    z z z z dấu bằng xảy ra   1 2 0    z kz k .

 1 2 1 2    z z z z dấu bằng xảy ra   1 2 0    z kz k

 1 2 1 2    z z z z dấu bằng xảy ra   1 2 0    z kz k

  

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2      z z z z z z



2 2   z z z z  z

2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ , x y Quỹ tích điểm M

ax 0    by c (1)

   z a bi z c di (2)

(1)Đường thẳng :ax 0     by c

(2) Đường trung trực đoạn AB

với       , , , A a b B c d

    2 2 2     x a y b R hoặc

  z a bi R

Đường tròn tâm   ; I a b , bán kính R

    2 2 2     x a y b R hoặc Hình tròn tâm   ; I a b , bán kính R

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404

2

  z a bi R

    2 2 2 2      r x a y b R hoặc

   r z a bi R

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm   ; I a b , bán kính lần lượt là

,r R

 

2

2 0         

y ax bx c c x ay by c

Parabol

    

2 2

2 2 1 1     x a y c

b d

hoặc

1 1 2 2 2       z a b i z a b i a

 1 Elip

 2 Elip nếu     1 1 2 2 2 , , , ,  a AB A a b B a b

Đoạn AB nếu 2  a AB

    2 2

2 2 1     x a y c

b d

Hypebol

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z    , tìm

Min z . Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm   M x;y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với   A a; b



2 2 0 1 1 2 2

2 2

       

Min z z a b

a b z i

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện .    z a bi z c di Tìm min z . Ta có

 Quỹ tích điểm   M x;y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với

    A a;b ,B c;d

  

   

2 2 2 2

2 2 ,

2

    

   Min

a b c d z d O AB

a c b d

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về

dạng cơ bản.

Ví dụ 1:

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện .    z a bi z c di Khi đó ta biến đổi

.        z a bi z c di z a bi z c di

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện .    iz a bi z c di Khi đó ta biến đổi

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404

3

.               a bi c di iz a bi iz c di z z z b ai z d ci i i

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   0 z a bi R 0 z z R       . Tìm

Max Min z , z . Ta có

 Quỹ tích điểm   M x;y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm   I a;b bán kính R



2 2

0

2 2

0

        

       

Max

Min

z OI R a b R z R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi R iz a bi R z i i        (Chia hai vế cho i )

z b ai R    

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R        (Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

  2 2 a bi R R c di z a bi R z c di c di c d

           

Hay viết gọn 1 0 1

0 0

z R z z z R z z z      (Chia cả hai vế cho 0 z )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số …