Hướng dẫn giải các dạng toán số phức

LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/

SỐPHỨC

BÀI1. DẠNG ĐẠI SỐCỦA SỐPHỨC VÀ CÁC PHÉP

TOÁN TRÊN SỐPHỨC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1. Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b ∈R, i2 = −1 được gọi là một sốphức. Đối với sốphức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i gọi là đơn vịảo. Tập sốphức C = {a + bi|a, b ∈R, i2 = −1}. Tập sốthực R ⊂C.

VÍ DỤ1. Sốphức z = 3 −2i có phần thực là . . . . . . phần ảo là . . . . . .

Lời giải. Sốphức z = 3 −2i có phần thực là 3 phần ảo là −2. □

!

Đặc biệt

Khi phần ảo b = 0 ⇔z = a ∈R ⇔z là sốthực.

Khi phần thực a = 0 ⇔z = bi ⇔z là sốthuần ảo.

Số0 = 0 + 0i vừa là sốthực, vừa là sốảo.

2. Hai sốphức bằng nhau

Hai sốphức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

a + bi = c + di ⇔

® a = c b = d , với a, b, c, d ∈R.

VÍ DỤ2. Tìm các sốthực x, y biết rằng (2x + 1) + (3y −2)i = (x + 2) + (y + 4)i.

Lời giải.

Từđịnh nghĩa ta có

® 2x + 1 = x + 2 3y −2 = y + 4 ⇔

® x = 1 y = 3. □

3. Biểu diễn hình học của sốphức

Điểm M(a; b) trong hệtrục tọa độvuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của sốphức z = a + bi.

VÍ DỤ3. Quan sát hình vẽbên cạnh, ta có

1 Điểm A biểu diễn cho sốphức . . . . . . . . . . . . . . .

2 Điểm B biểu diễn cho sốphức . . . . . . . . . . . . . . .

3 Điểm C biểu diễn cho sốphức . . . . . . . . . . . . . . .

4 Điểm D biểu diễn cho sốphức . . . . . . . . . . . . . . .

x

y

3

A 2

2

B −3

−3

C −2

3 D

O

Lời giải. Ta có

"Toán học là môn thểdục của trí tuệ"–Isocrates Trang 1

PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX

1 Điểm A biểu diễn cho sốphức z = 3 + 2i.

2 Điểm B biểu diễn cho sốphức z = 2 −3i.

3 Điểm C biểu diễn cho sốphức z = −3 −2i.

4 Điểm D biểu diễn cho sốphức z = 3i.

□

4. Mô-đun của sốphức

Giảsửsốphức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ.

1 Độdài của véc-tơ # » OM được gọi là mô-đun của sốphức z và được ký hiệu là |z|. Khi đó, |z| = # » OM = |a + bi| = √

a2 + b2.

2 Kết quả, với mọi sốphức z ta có

(a) |z| ≥0 và |z| = 0 ⇔z = 0.

(b) z · ¯z = |z|2.

(c) |z| = |¯z|.

(d) |z1 · z2| = |z1| · |z2|.

(e) z1 z2

= |z1|

|z2|.

x

y

a

M b

O

VÍ DỤ4. Tìm mô-đun của các sốphức sau

1 z = 3 −2i ⇒|z| = |3 −2i| = »

. . . . . . . . . = . . . . . .

2 z = 1 + i √

3 ⇒|z| = |1 + i √

3| = »

. . . . . . . . . = . . . . . .

Lời giải. Ta có

1 |z| = |3 −2i| = p

32 + (−2)2 = √

13.

2 |z| = |1 + i √

3| = »

12 + ( √

3)2 = 2.

□

5. Sốphức liên hợp

Định nghĩa 2. Cho sốphức z = a + bi, (a, b ∈R). Ta gọi a −bi là sốphức liên hợp của z và được ký hiệu là ¯z = a −bi.

VÍ DỤ5.

1 Cho z = −3 −2i ⇒¯z = . . . . . . . . .

2 Cho ¯z = 4 + 3i ⇒z = . . . . . . . . .

Lời giải.

1 Cho z = −3 −2i ⇒¯z = −3 + 2i.

2 Cho ¯z = 4 + 3i ⇒z = 4 −3i.

□

Trang 2 "Toán học là môn thểdục của trí tuệ"–Isocrates

LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/

Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và ¯z đối xứng với nhau qua trục Ox.

Từđịnh nghĩa ta có các kết quảsau

2 ¯¯z = z; |¯z| = |z|.

2 z1 ± z2 = ¯z1 ± ¯z2.

2 z1 · z2 = ¯z1 · ¯z2.

2

Åz1

z2

ã = ¯z1

¯z2 .

2 z là sốthực ⇔z = ¯z.

2 z là sốthuần ảo ⇔z = −¯z.

x

y

a

z = a + bi b

¯z = a −bi −b

O

6. Cộng, trừ, nhân, chia sốphức

Cho hai sốphức z1 = a + bi và z2 = c + di.

1 Phép cộng và phép trừhai sốphức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừđa thức.

Phép cộng: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Phép trừ: z1 −z2 = (a + bi) −(c + di) = (a −c) + (b −d)i. Sốphức đối của của sốphức z = a + bi là −z = −a −bi. Do đó, z + (−z) = (−z) + z = 0.

VÍ DỤ6. Cho hai sốphức z1 = 5 + 2i và z2 = 3 + 7i. Tìm phần thực, phần ảo và mô-đun của sốphức w = z1 + z2 và sốphức w′ = z2 −z1.

Lời giải.

Ta có w = (5 + 2i) + (3 + 7i) = 8 + 9i và w′ = (3 + 7i) −(5 + 2i) = −2 + 5i. Như thế

• w có phần thực là 8, phần ảo là 9 và mô-đun là |w| = √

82 + 92 = √

145, • w′ có phần thực là −2, phần ảo là 5 và mô-đun là |w′| = p

(−2)2 + 52 = √

29.

□

2 Phép nhân sốphức được …