Số phức và một số ứng dụng - Nguyễn Tài Chung

1 | Nguyễn Tài Chung - Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai

MỤC LỤC

1 Sốphức và một vài ứng dụng 1

A Lý thuyết 1

B Ví dụgiải toán 5

C Bài tập 14

1 Đềbài 14

2 Lời giải 16

D Sửdụng sốphức chứng minh bất đẳng thức 23

E Sửdụng sốphức giải phương trình, hệphương trình 29

F Hệlặp sinh bởi các đa thức đối xứng ba biến 36

2 Sửdụng sốphức đểgiải phương trình hàm đa thức 39

BÀI 1. SỐPHỨC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

A. LÝ THUYẾT

1. Một sốđịnh nghĩa.

✓Một sốphức z là một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những sốthực và i là sốthỏa mãn i2 = −1. Sốa gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của sốphức z = a + bi, còn i gọi là đơn vịảo.

✓Cho hai sốphức z = a + bi và z′ = a′ + b′i. Khi đó:

z = z′ ⇔ a = a′

b = b′.

✓Tập hợp tất cảcác sốphức thường được ký hiệu là C. Vậy:

C = {a + bi|a, b ∈R}.

✓Sốphức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là sốthực và viết là:

a + 0i = a ∈R ⊂C.

MỤC LỤC

2 | Nguyễn Tài Chung - Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai

✓Sốphức z = 0 + bi có phần thực bằng 0 được gọi là sốảo (còn gọi là sốthuần ảo) và viết là z = bi.

✓Số0 = 0 + 0i = 0i vừa là sốthực vừa là sốảo.

2. Môđun của sốphức. Cho sốphức z = a + bi, khi đó √

a2 + b2 được gọi là môđun (độ dài) của z, ký hiệu là |z|. Vậy |z| = √

a2 + b2. 3. Sốphức liên hợp. Cho z = a + bi ∈C, khi đó sốphức liên hợp với z là z = a −bi. 4. Biểu diễn hình học của sốphức. Trong mặt phẳng tọa độOxy, mỗi sốphức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b). Ngược lại mỗi điểm M(a; b) biểu diễn một sốphức là z = a + bi. Ta còn viết là M(a + bi) hay M(z). 5. Các phép toán trên sốphức. Cho hai sốphức z = a + bi và z′ = a′ + b′i. Khi đó:

✓Tổng của hai sốphức z và z′ là: z + z′ = (a + a′) + (b + b′) i.

✓Sốđối của sốphức z = a + bi là sốphức −z = −a −bi.

✓Hiệu của hai sốphức z và z′ là: z −z′ = (a −a′) + (b −b′) i.

✓Tích của hai sốphức z và z′ là: zz′ = (aa′ −bb′) + (ab′ + a′b) i.

✓Nghịch đảo của sốphức z = a + bi ̸= 0 là:

z−1 = 1 a2 + b2 (a −bi)

= z

|z|2

!

.

✓Thương của hai sốphức z và z′ ̸= 0 là:

z z′ = z.z′−1 = (a + bi) a′

a′2 + b′2 − b′

a′2 + b′2 i

= aa′ + bb′

a′2 + b′2 −ab′ −a′b

a′2 + b′2 i.

✓Lũy thừa của sốphức z được định nghĩa như sau:

z0 = 1, zn = z.z . . . z | {z } n chữz với n ∈N∗.

zn = 1 z−n , với z ̸= 0, n = −1, −2, −3, . . .

✓Căn bậc n (n ∈N∗) của sốphức z, kí hiệu n√z, là sốphức z1 sao cho zn 1 = z.

Chú ý 1. Đểchia hai sốphức được nhanh chóng ta làm như sau:

z z′ = z.z′

z′.z′ = z.z′

|z′|2 .

Tức là đểtìm z

z′ ta chỉcần nhân tửvà mẫu cho sốphức liên hợp của z′.

6. Tìm căn bậc hai của sốphức z.

MỤC LỤC

3 | Nguyễn Tài Chung - Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai

✓Nếu z = 0 thì z có một căn bậc hai là 0.

✓Nếu z = a > 0 thì z có hai căn bậc hai là √a và −√a.

✓Nếu z = a < 0 thì z có hai căn bậc hai là √−a i và −√−a i.

✓Nếu z = a + bi (b ̸= 0) thì ta tìm căn bậc hai của z như sau: Ta cần tìm sốphức x + yi sao cho:

(x + yi)2 = a + bi ⇔x2 −y2 + 2xyi = a + bi ⇔ x2 −y2 = a 2xy = b.

Giải hệnày ta tìm được x và y, tức là tìm được x + yi.

7. Dạng lượng giác của sốphức. Cho sốphức z = a + bi ̸= 0. Trong mặt phẳng Oxy, số phức z = a + bi được biểu diễn bởi một điểm duy nhất M(a; b). Ta có:

|z| = p

a2 + b2 = # » OM .

Sốđo (radian) của mỗi góc lượng giác φ = (Ox, OM) gọi là acgumen của sốphức z. Vậy ta có: a = r cos φ, b = r sin φ,

z = r(cos φ + i sin φ), với r = |z| = p

a2 + b2 = # » OM

và z = r(cos φ + i sin φ) được gọi là dạng lượng giác của sốphức z = a + bi. Lưu ý. Nếu φ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng φ + k2π, k ∈Z (người ta thường nói acgumen của z ̸= 0 sai khác k2π, k ∈Z). 8. Các công thức thường dùng của dạng lượng giác. Cho hai sốphức:

z = r(cos φ + i sin φ) ̸= 0, z′ = r′(cos β + i sin β) ̸= 0.

Khi đó:

zz′ = rr′ [cos(φ + β) + i sin(φ + β)] z z′ = r

r′ [cos(φ −β) + i sin(φ −β)]

zn = [r (cos φ + i sin φ)]n = rn (cos nφ + i sin nφ), ∀n = 0, 1, 2, . . .

Công thức sau cùng gọi là công thức Moa-vrơ. 9. Căn bậc n của sốphức. Cho sốphức z = r (cos ϕ + i sin ϕ) , r > 0. Khi đó các căn bậc …