Bài toán GTLN - GTNN của môđun số phức

https://toanmath.com/

GTLN - GTNN CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC

A. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

I. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN 1. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. II. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. 1. PHƯƠNG PHÁP: Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học và một số bài toán công cụ sau:

UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 1:U Cho đường tròn ( ) T cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường

tròn ( ) T . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất.

UGiải: TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB < AC. +) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:

AM AI IM AI IB AB ≥ − = − = . Đẳng thức xảy ra khi M B ≡ AM AI IM AI IC AC ≤ + = + = . Đẳng thức xảy ra khi M C ≡

+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:

AM IM IA IB IA AB ≥ − = − = . Đẳng thức xảy ra khi M B ≡ AM AI IM AI IC AC ≤ + = + = . Đẳng thức xảy ra khi M C ≡ Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất. Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất.

UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 2:U Cho hai đường tròn 1 ( ) T có tâm I, bán kính RR1 R; đường tròn 2 ( ) T có tâm J, bán kính RR2 R. Tìm vị trí

của điểm M trên 1 ( ) T , điểm N trên 2 ( ) T sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

https://toanmath.com/

UGiải: Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn 1 ( ) T tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt 2 ( ) T tại hai điểm phân biệt C, D

( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên 1 ( ) T và điểm N bất kì trên 2 ( ) T .

Ta có: 1 2 MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD ≤ + ≤ + + = + + = .

Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D

1 2 MN IM IN IJ IM JN IJ R R BC ≥ − ≥ − − = − + = .

Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.

UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 3:U Cho hai đường tròn ( ) T có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ không có điểm chung với ( ) T . Tìm vị

trí của điểm M trên ( ) T , điểm N trên ∆ sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

UGiải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d Đoạn IH cắt đường tròn ( ) T tại J Với M thuộc đường thẳng ∆, N thuộc đường tròn ( ) T , ta có: MN IN IM IH IJ JH const ≥ − ≥ − = = . Đẳng thức xảy ra khi ; M H N I ≡ ≡ Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.

B – BÀI TẬP

Câu 1. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 3 2 . z i z i + = + − Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

A. 1 2 5 5 z i = − + . B. 1 2 5 5 z i = − . C. 1 2 z i = −+ . D. 1 2 z i = − .

Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn 2 4 2 z i z i − − = − . Số phức z có môđun nhỏ nhất là

A. 3 2 z i = + B. 1 z i = −+ C. 2 2 z i = −+ D. 2 2 z i = + Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn 1 − = − z z i . Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức w 2 2 = + − z i .

A. 3 2 2 . B. 3 2 . C. 3 2 . D. 3

2 2

.

Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn 3 4 1 z i −− = . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .

A. 6 . B. 4 . C. 3. D. 5.