Chuyên đề số phức VD - VDC - Nguyễn Xuân Chung

GV: Nguyễn Xuân Chung

SỐ PHỨC - PHẦN I

Nhân dịp mùa thi THPTQG 2020 sắp tới gần, ta thử nhìn nhận về các bài toán số phức thi ĐH - CĐ năm 2012, củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán về số phức trong vài năm gần đây, góp phần giúp các em 2K2 đạt kết quả tốt hơn trong kỳ thi.

1. Các câu trích từ đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng năm 2012

Ví dụ 1. (BGD - Đề thi tuyển sinh Đại học 2012 - Khối A - A1 Câu 9b)

Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2 1 z i i z + = − + . Tính môđun của số phức 2 1 w z z = + + .

Phân tích.

Trong câu này chúng ta củng cố kiến thức và luyện tập kỹ năng về

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức

- Số phức liên hợp, phần thực, phần ảo, môđun của số phức.

Nhiệm vụ đầu tiên là tìm ra số phức z , sau đó thế vào w , rút gọn và tính môđun. Hiện nay ta có thể hỗ trợ máy tính Casio để làm thay việc rút gọn và tính môđun, thậm chí cả việc tìn z .

Lời giải.

Cách 1. (Tự luận)

Điều kiện 1 z ≠−. Từ giả thiết suy ra ( ) 5 5 2 2 z i i i z + = −+ − (1). Giả sử ( ) , , z a bi a b = + ∈

thì từ (1) ta có ( )( ) 5 5 6 2 2 2 2 a bi i i a bi a b bi ai − + − = − + = + + −

( ) ( ) 3 2 0 3 2 7 6 0 1 1 7 6 0

a b a b a b i a b z i a b

− − =  ⇒ − − + − + = ⇒ ⇒ = = ⇒ = + − + = 

(Thỏa mãn).

Khi đó ( )

2 2 2 2 w 1 2 1 2 3 w 2 3 13 z z i i i = + + = + + + = + ⇒ = + = .

Vậy 1 z i = + và 13 w = .

Cách 2. (Hỗ trợ máy tính - Trắc nghiệm)

Từ (1) ta có: ( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 6 2 2 6 5 2 5 2 6 1 2 5

i i i i z z i z i i

−+ + −−− − − − = −+ ⇒ = = + − −−

.

Từ đó w là 2 1+Ans Ans 13 + = . (Công thức trên ta sẽ tìm hiểu ở VD 20).

Ví dụ 2. (BGD - Đề thi tuyển sình Đại học 2012 - Khối B Câu 9b)

Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0 z iz − − = . Viết dạng lượng giác

của 1z và 2z .

Phân tích.

Trong câu này chúng ta củng cố kiến thức và luyện tập kỹ năng về

- Định lý Viet

GV: Nguyễn Xuân Chung

- Môđun của số phức

- Dạng lượng giác của số phức.

Lời giải.

Vì 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0 z iz − − = nên ta có: 1 2 . 4 z z = −, do

đó 1 2 2 z z r = = = . Bởi vậy ta đặt ( ) ( ) 1 2 2 cos sin , 2 cos sin z i z i ϕ ϕ ϕ ϕ = + = − − khi đó ta

cũng có 1 2 2 3 z z i + = nên 3 4 sin 2 3 sin 2 3 i i π ϕ ϕ ϕ = ⇒ = ⇒ = .

Vậy 1 2 4 4 2 cos sin , 2 cos sin 3 3 3 3 z i z i π π π π     = + = −        

.

Ví dụ 3. (BGD - Đề thi tuyển sình Đại học 2012 - Khối D Câu 9a)

Cho số phức z thỏa mãn ( ) 2(1 2 ) 2 7 8 1 i i z i i + + + = + + . Tìm môđun của số phức 1 w z i = + + .

Phân tích.

Trong câu này chúng ta củng cố kiến thức và luyện tập kỹ năng về

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức

- Số phức liên hợp, phần thực, phần ảo, môđun của số phức.

Lời giải.

Cách 1. (Tự luận)

Từ giả thiết suy ra

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2(1 2 ) 1 2 7 8 2 (1 2 ) 1 7 8 1 1

i i i z i i z i i i i i

+ − + + = + ⇔ + + + − = + + −

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

4 7 2 4 7 15 10 2 3 7 8 2 4 7 2 2 2 5 i i i i i z i i i z i z i i i + − + + ⇔ + + + = + ⇔ + = + ⇔ = = = + + −

3 2 z i ⇔ = + . Từ đó ta có 2 2 1 4 3 4 3 5 w z i i w = + + = + ⇒ = + = .

Vậy 3 2 z i = + và 5 w = .

Cách 2. (Hỗ trợ máy tính - Trắc nghiệm)

Từ giả thiết ( ) 2(1 2 ) 2 7 8 1 i i z i i + + + = + + ta có (nhập máy): ( ) ( )( )

2 1 2 7 8 3 2 2 2 1 i i z i i i i + + = − = + + + + .

Từ đó w là Ans 1 5 i + + = .

Ví dụ 4. (BGD - Đề thi tuyển sình Đại học 2012 - Khối D Câu 9b)

Giải phương trình ( ) 2 3 1 5 0 z i z i + + + = trên tập hợp các số phức.

Phân tích.