Kĩ thuật thế hằng số trong bài toán số phức - Vũ Quốc Triệu

PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021

https://www.facebook.com/bank.trieu Trang 1

VŨ QUỐC TRIỆU VŨ QUỐC TRIỆU

KĨ THUẬT THẾ HẰNG SỐ TRONG TOÁN PHỨC

Vũ Quốc Triệu , Hà Nội tháng 6.2021

Trong Toán học nói chung và toán Phức nói riêng, ngoài các phép toán thông thường ta còn có một phép toán ‘ thế hằng số’, nghĩa là thay một hằng số bởi một biểu thức chứa biến. Phép toán này giúp giảm sự phức tạp trong tính toán, rút gọn các biểu thức số phức bậc cao hoặc đôi khi nó còn là điểm mấu chốt để giải quyết vấn đề. Một hằng số nếu chỉ nhìn nó ở góc độ số học thì đó là điều rất bình thường, thế nhưng khi thay thế nó bởi một biểu thức chứa biến phù hợp lại tạo ra điều bất ngờ trong việc giải quyết bài toán.

A. KIẾN THỨC SỬ DỤNG

1. Cho số phứ   , z a bi a b    .Khi đó :

+)

2 2 2 2 .z z z z a b     .

+)       2 2 . . 0

n n n n n k z k z z z z z k       .

2. Với hai số phức bất kì z và w ,ta luôn có :

+) . . z w z w  ;

n nz z  .

+)   0 z z w w w   .

+) w z z w    ;      z w z w z w .

3. Bất đẳng thức môđun

+) z w z w    . Dấu bằng xảy ra , 0 k k   sao cho .w z k  .

+) w z z w    . Dấu bằng xảy ra , 0 k k   sao cho .w z k  .

B. ÁP DỤNG

BÀI TOÁN 1 ( Trích đề thi thử THPT QG – SGD Thái Bình 2021 ) : Cho các số phức 1z ; 2z ; 3z thoả

mãn 1 4 z  ; 2 5 z  ; 3 2 z  và 1 3 3 1 2 2 4 16 25 80 z z z z z z    . Giá trị của biểu thức

1 2 3 z P z z    bằng

A. 8 . B. 2 . C. 1. D. 6 .

Nhận xét : Quan sát các hệ số trong giả thiết 1 3 3 1 2 2 4 16 25 80 z z z z z z    ta thấy

1 1 1 2 2 16 4 . z z z    ;

2 2

2 2 2 25 5 . z z z    ;

2 2

3 3 3 4 2 . z z z    .

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết 1 4 z  , 2 5 z  , 3 2 z  ta có, 3 3 . 4 z z  ; 1 1 . 16 z z  ; 2 2 . 25 z z  .

PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC NĂM HỌC 2020 – 2021

https://www.facebook.com/bank.trieu Trang 2

VŨ QUỐC TRIỆU VŨ QUỐC TRIỆU

Thay các hệ số 4; 16 và 25 bởi các biểu thức tương ứng ở trên vào giả thiết

1 3 3 1 2 2 4 16 25 80 z z z z z z    , ta được :

      3 3 1 2 1 1 2 3 1 2 2 3 . . . 80 z z z z z z z z z z z z   

   1 2 3 1 2 3 80 z z z z z z     1 2 3 1 2 3 80 z z z z z z    

1 2 3 1 2 3 . . . 80 z z z z z z     1 2 3 4.5.2. 80 z z z    

1 2 3 2 z z z     .

BÀI TOÁN 2 ( Trích đề thi thử THPT QG – THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định 2021 ) :

Cho các số phức ;z w thoả mãn 4  z , 5 2 1 iw i  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 16    wz P z bằng

A. 16. B. 14. C. 18. D. 17 .

Lời giải

Chọn B.

Ta có :

*) 5 2 1 5 2 1 iw i w i     tập hợp điểm biểu diễn tất cả các số phức w là đường tròn

    2 2 : 2 5 1 C x y    

*) 2 . 4 . P w w z z z w z z z z z z          .

Đặt   ; z a bi a b    . Vì 4 z   2 2 16 a b   .

Khi đó : 4 2 P a w   .

Gọi   M w M C   . Chọn điểm   2 ;0 E a thì 4 P ME  .

Vì 2 2 2 16 16 4 4 8 2 8 a b a a a        .

Chọn     8;0 ; 8;0 A B  thì điểm E thuộc đoạn thẳng AB .

Từ hình vẽ suy ra 5 1 4 ME MH JQ IQ IJ       4 16 P ME    .