Bài giảng phương trình bậc hai với hệ số thực

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 4

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

 Kĩ năng

+ Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức và vận dụng vào giải được một

số bài toán liên quan

+ Vận dụng định lý Vi-ét vào giải một số bài toán chứa nhiều biểu thức đối xứng đối với hai

nghiệm của phương trình

+ Biết cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hệ số thực

+ Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Căn bậc hai của một phức

Định nghĩa

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2  z w được gọi là một căn

bậc hai của w

Tìm căn bậc hai của số phức w

 w là số thực.

+ Nếu 0  w thì w có hai căn bậc hai là  i w và   i w

+ Nếu 0  w thì w có hai căn bậc hai là w và w

   w a bi   ,  a b , 0  b

Nếu   z x iy là căn bậc hai của w thì  

2    x iy a bi

Do đó ta có hệ phương trình:

2 2

2x

     

x y a

y b

Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của

w

2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình 2 0    az bz c   , ,c ; 0    a b a

Ta có 2 4   b ac

 Nếu 0  thì phương trình có nghiệm thực 2 b x a

 Nếu 0  thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1 2    b x a ; 2 2    b x a

 Nếu 0  thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1 2

   b i x a ; 2 2

   b i x a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai 2 0    ax bx c   0  a có hai nghiệm phân

biệt 1x , 2x (thực hoặc phức) thì

1 2

1 2

        

b S x x a c P x x a

Nhận xét:

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

là 0

+) Mỗi số phức khác 0 có hai căn

bậc hai là hai số đối nhau (khác

0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1 0 1 1 ... 0 

      n n

n n A z A z A z A

luôn có n nghiệm phức (không

nhất thiết phân biệt) với n nguyên

dương.

TOANMATH.com Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm

Phương pháp giải

Cho phương trình:

2 0    az bz c   , ,c ; 0    a b a

 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

 Áp dụng các phép toán trên tập số phức để

biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình 2 2 5 0    z z

a) Giải phương trình trên tập số phức

b) Tính 1 2  z z

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  

2 ' 1 5 4 2   i

Phương trình có hai nghiệm là:

1 2 2   z i ; 2 2 2   z i

b) Ta có 2 2 1 2 2 2 2 2     z z

Suy ra 1 2 2 2 2 2 4 2     z z

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tất cả các nghiệm phức của phương trình 2 5 0   z là

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Cho phương trình bậc hai 2 0    ax bx c   , ,c ; 0    a b a

2 4   b ac

0  0  0 

Phương trình có hai nghiệm

phức phân biệt

1 2

   b i x a ; 2 2

   b i x a

Phương trình có

nghiệm thực duy nhất

2 b x a

Phương trình có hai nghiệm thực

phân biệt

1 2    b x a ; 2 2    b x a

Hệ thức Vi-ét

1 2

1 2

        

b S x x a c P x x a