Bài giảng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 4. SỐ PHỨC

BÀI 4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững các định nghĩa về số phức và các phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số

phức; phép chia hai số phức.

+ Nắm vững các bài toán cực trị cơ bản về liên quan giữa các yếu tố: Điểm, đường tròn, đường

thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình tròn, …

+ Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản liên quan đến môđun số phức và bất đẳng thức Cauchy –

Schwarz.

 Kĩ năng

+ Biết thực hiện thành thạo các định nghĩa, các phép toán trên số phức và vận dụng vào giải

được một số bài toán liên quan.

+ Biết thực hiện thành thạo việc chuyển đổi ngôn ngữ số phức sang ngôn ngữ hình học.

+ Giải thành thạo các bài toán cực trị cơ bản về liên quan giữa các yếu tố: Điểm, đường tròn,

đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình tròn, …

+ Vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức và bất đẳng thức Cauchy –

Schwarz vào giải các bài toán max, min môđun số phức.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Các bất đẳng thức thường dùng

a. Cho các số phức 1 2 , z z ta có:

+) 1 2 1 2 z z z z    (1).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

1 2 1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

         .

+) 1 2 1 2 z z z z    (2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

1 2 1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

         .

b. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho các số thực , , , a b x y ta có:    2 2 2 2 ax by a b x y    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay bx  .

2. Một số kết quả đã biết

a. Cho hai điểm , A B cố định. Với điểm M bất kỳ luôn có bất đẳng thức tam giác:

+) MA MB AB   , dấu “=” xảy ra M  nằm giữa hai điểm , A B .

+) MA MB AB   , dấu “=” xảy ra B  nằm giữa hai điểm , A M .

b. Cho hai điểm , A B nằm cùng phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có:

+) MA MB AB   , dấu “=” xảy ra  Ba điểm , , A M B thẳng hàng.

+) Gọi A là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có

MA MB MA MB A B       , dấu “=” xảy ra  Ba điểm , , A M B  thẳng hàng.

c. Cho hai điểm , A B nằm khác phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có:

+) MA MB AB   , dấu “=” xảy ra M  nằm giữa hai điểm , A B .

+) Gọi A là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có

MA MB MA MB A B       , dấu “=” xảy ra  Ba điểm , , A M B  thẳng hàng.

d. Cho đoạn thẳng PQ và điểm A không thuộc PQ , M là điểm di động trên đoạn thẳng PQ , khi đó

  max max , AM AP AQ  . Để tìm giá trị nhỏ nhất của AM ta xét các trường hợp sau:

+) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ nằm trên đoạn PQ thì min AM AH  .

+) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ không nằm trên đoạn PQ thì

  min min ; AM AP AQ  .

e. Cho đường thẳng và điểm A không nằm trên . Điểm M trên  có khoảng cách đến A nhỏ nhất

chính là hình chiếu vuông góc của A trên .

TOANMATH.com Trang 3

f. Cho ,x y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác 1 2... n A A A . Khi đó giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

biểu thức F ax by   ( ,a b là hai số thực đã cho không đồng thời bằng 0 ) đạt được tại một trong các

đỉnh của miền đa giác.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Với các số thực , , , a b x y ta có

   2 2 2 2 ax by a b x y     .

Dấu “=” xảy ra khi a b x y  .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp hình học

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn

   

2 2 z z i z z    . Giá trị nhỏ nhất của 3 z i 

bằng

A. 3. B. 3 .

C. 2 3 . D. 2.

Hướng dẫn giải

Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức

sang ngôn ngữ hình học.

Giả sử   , z x yi x y    z x yi    . Khi đó

     

2 2 2 2 2 2 4 z z i z z yi x i y x        .

Gọi     ; ; 0; 3 M x y A  lần lượt là điểm biểu diễn

Bất đẳng thức tam giác

1 2 1 2 z z z z    . Dấu “=” xảy ra khi   1 2 0 z kz k   .

1 2 1 2 z z z z    . Dấu. “=” xảy ra khi   1 2 0 z kz k   .

1 2 1 2 z z z z    . Dấu. “=” xảy ra khi   1 2 0 z kz k …