Chuyên đề trắc nghiệm các phép tính toán với số phức

CHỦ ĐỀ 16: CÁC PHÉP TÍNH TOÁN VỚI SỐ PHỨC

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1) Các khái niệm cơ bản.

• Định nghĩa: Số phức là số có dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn 2 1 i = −. Kí

hiệu số phức đó là z và viết z a bi = + .

Trong đó i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức

z a bi = + .

Tập hợp các số phức được kí hiệu là .

Chú ý:

- Số phức 0. z a a i = = + có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là 0. a i a + = ∈.

- Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo): ( ) 0 z bi bi b = + = ∈.

Ví dụ 5 z i = là số thuần ảo.

- Số 0 0 0.i = + vừa là số thực, vừa là số ảo.

Ví dụ: Số phức 5 3 z i = + có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 3 .

Số phức 4 z i = − có phần thực bằng 0, phần ảo bằng 4 −; đó là một số thuần ảo.

• Hai số phức ( ) ; ; ; ; z a bi z a b i a a b b ′ ′ ′ ′ ′ = + = + ∈ gọi là bằng nhau nếu a a

b b

′ =   ′ = 

.

Khi đó ta viết z z′ = .

2) Biểu diễn hình học của số phức

Xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức ( ) ; a bi a b + ∈được biểu

diễn bởi điểm ( ) ; M a b . Ngược lại, mỗi điểm ( ) ; M a b biểu diễn

một số phức z a bi = + . Ta còn viết ( ) M a bi + hay đơn giản là

( ) M z .

Mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức.

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Các điểm

trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo.

3) Phép cộng và phép trừ số phức

a) Phép cộng hai số phức

Tổng của hai số phức ( ) ; ; ; ; z a bi z a b i a a b b ′ ′ ′ ′ ′ = + = + ∈ là số phức ( ) z z a a b b i ′ ′ ′ + = + + + .

Ví dụ: ( ) ( ) 4 5 2 4 5 2 9 i i i i i + + − = + + − = −.

3 2 3 4 2 3 3 i i i + − − = − − .

Một số tính chất của phép cộng số phức

 Tính chất kết hợp: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , ; ; z z z z z z z z z + + = + + ∀ ∈.

 Tính chất giao hoán: ' ' , ', + = + ∀ ∈ z z z z z z

 Cộng với 0: 0 0 , z z z z + = + = ∀∈.

 Với mỗi số phức ( ) ; z a bi a b = + ∈ nếu kí hiệu số phức −− a bi là −z thì ta có:

( ) ( ) 0 z z z z + − = − + =

Số z − được gọi là số đối của số phức z .

b) Phép trừ hai số phức

Hiệu của hai số phức z và z′ là tổng của z và ' −z , tức là ( ) z z z z ′ ′ − = + −

Nếu ; z a bi z a b i ′ ′ ′ = + = + thì ( ) z z a a b b i ′ ′ ′ − = − + − .

Ví dụ: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 1 2 4 1 5 2 3 3 i i i i + − + = − + − = + .

c) Phép nhân hai số phức

Tích của hai số phức z a bi = + và ( ) ; ; ; z a b i a a b b ′ ′ ′ ′ ′ = + ∈ là số phức:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 zz a bi a b i aa ab b a i bb i aa bb ab a b i ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = + + = + + + = − + + .

Biến đổi tương tự như trên ta có:

• ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 z a bi a abi bi a b abi = + = + + = − +

• ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 z a bi a a bi a bi bi a ab a b b i = + = + + + = − + − .

• ( ) ( ) 2 2 1 2 ; 1 2 i i i i + = − = − .

Ví dụ: ( )( ) 3 1 2 3 2 6 5 5 i i i i i − + = + −+ = + .

Một số tính chất của phép nhân hai số phức:

 Tính chất giao hoán: , ; zz z z z z ′ ′ ′ = ∀ ∈.

 Tính chất kết hợp: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , ; ; z z z z z z z z z = ∀ ∈.

 Nhân với 1: 1. .1, z z z = ∀∈.

 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ( ) 1 2 1 2 1 2 , ; ; z z z zz zz z z z + = + ∀ ∈.

4) Số phức liên hợp và môđun của số phức

a) Số phức liên hợp

• Số phức liên hợp của ( ) ; z a bi a b = + ∈ là a bi − và được kí hiệu là z .

Như vậy z a bi a bi = + = − .