Áp dụng bất đẳng thức Minkowski giải bài toán cực trị số phức và Oxyz

PHIẾU HỌC TẬP- BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI & ÁP DỤNG

Trang 1

BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI VÀ ÁP DỤNG

Vũ Quốc Triệu , Hà Nội tháng 6.2023

A. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI

Hermann Minkowski (1864 – 1909) là một nhà Toán học sinh tại Aleksotas (ngoại ô của Kaunas, Litva) trong một gia đình gốc Đức, Ba Lan và Do Thái. Tại Đức,Ông học ở Đại học Berlin và Königsberg, nơi ông nhận học vị tiến sĩ năm 1885 dưới sự hướng dẫn của Ferdinand von Lindemann. Khi còn là sinh viên tại Königsberg, năm 1883 Ông đã được nhận giải thưởng Toán học của Viện khoa học Pháp cho các công trình về lý thuyết các dạng Toàn phương.Hermann Minkowski đã dạy tại đại học Bonn, Göttingen, Königsberg và Zurich. Tại viện Bách Khoa liên bang (Federal Polytechnic Institute), nay là ETH Zurich, ông là một trong những thầy giáo của Albert Einstein (1979 – 1955).

Bất đẳng thức Minkowski thường sử dụng là :

1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 A X B Y A B X Y + + + ≥ + + + .

Dấu bằng xảy 0 A X k B Y ⇔ = = > .

2) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C X Y Z A X B Y C Z + + + + + ≥ + + + + + .

Dấu bằng xảy 0 A B C k X Y Z ⇔ = = = > .

Lưu ý : Bất đẳng thức Minkowski được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp véc – tơ nên có thể gọi là bất đẳng thức “ độ dài véc – tơ ‘’

B. ÁP DỤNG

PHIẾU HỌC TẬP- BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI & ÁP DỤNG

Trang 2

ÁP DỤNG 1 : Cho số phức z thỏa mãn 2 z ≤ .GTNN của biểu thức 2 1 2 1 2 4 P z z z z i = + + − + − −

bằng

A. 4 . B. 4 2 3 + . C. 8 4 5 + . D. 4 5 .

( Trích đề thi khảo sát môn Toán 12 trường THPT Lê Quý Đôn – Đống Đa, Hà Nội 2023 )

Lời giải

Chọn B

Đặt ( ) , z x yi x y = + ∈.

Giả thiết 2 2 2 4 z x y ≤ ⇔ + ≤ suy ra [ ] 2 4 2;2 y y ≤ ⇒ ∈− .

Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 P x y x y y = + + + − + + −

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x y x y y   = + + + − + − −    

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 P x x y y y y y f y ≥ + + − + + − − = + − − =

Dấu bằng xảy ra 1 0 1 x y x x y + ⇔ = ⇔ = − .

Xét hàm số ( ) ( ) 2 4 1 2 2 f y y y = + − − với [ ] 2;2 y ∈− .

( ) ( ) [ ] 2

2 4 1 2; 0 1 2 2;2 3 1 ′ ′ = − = ⇔ + = ⇔ = ∈− +

y f y f y y y y y

.

Ta có ( )

( )

[ ] 2;2

1 4 2 3 3 1 1 2 4 5 4 2 3 ; 0 3 3 2 4 5 8

y

f

f MinP y x z i

f

∈−

  = +       = ⇒ = + ⇔ = = ⇔ =   − = +  

.

Nhận xét : Ở phép đánh giá trên, ta đã sử dụng BĐT Minkowski để triệt hạ ẩn x , không triệt hạ ẩn y !

ÁP DỤNG 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 1 25 S x y z − + − + = và hai điểm ( ) ( ) 7;9;0 , 0;8;0 A B . Điểm M di động trên( ) S . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 MA MB + bằng

A. 5 3 . B. 5 2 . C. 5 5 . D. 5.

Lời giải

Chọn C

PHIẾU HỌC TẬP- BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI & ÁP DỤNG

Trang 3

Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ; ; : 1 1 25 2 2 23 0 M x y z M S x y z x y z x y ⇒ ∈ − + − + = ⇔ + + − − − = .

Ta có:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 7 9 2 8 MA MB x y z x y z + = − + − + + + − +

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 7 9 3.0 2 8 x y z x y z = − + − + + + + − +

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 9 3. 2 2 23 2 8 x y z x y z x y x y z = − + − + + + + − − − + + − +

( )

2 2 2 2 2 2 61 2 5 6 2 8 4 x y z x y x y z = + + − − + + + − +

( )

2 2 2 2 2 2 61 2 5 6 2 8 4 x y z x y x y z = + + − − + + + − +

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 5 2 3 8 2 x y z x y z       = − + − + − + + − +        

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ,ta có:

( ) ( )

2 2 2 5 2 3 8 5 5 2 P x x y y z z   ≥ − + + − + − + −+ =    

Dấu bằng xảy ra ( )

2 2 2

5 3 2 0 1 8 0 6 1;6;0 2 2 23 0 0

x y k x x y z y M x y z x y z

 −  − = = >  = −    ⇔ = ⇔ = ⇒     + + − − − = =    

.

ÁP DỤNG 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho đường thẳng : 1 1 1 x y z d = = , đường thẳng

1 1 : 1 1 1 − + ′ = = x y z d và hai điểm ( ) ( ) 2;1; 1 , 1;1;2 A B − . Gọi , M N lần lượt là hai điểm di động

trên d và ′ d sao cho 5 MN = . Biết rằng giá trị nhỏ nhất của AM BN + có dạng ( ) , a b a b + ∈. Tổng a b + bằng

A. 3. B. 1. C. 57 . D. 27 .

Lời giải

Chọn D

Gọi ( ) ; ; M m m m d ∈ và ( ) ; 1; 1 ′ + − …