Giải toán tích phân bằng nhiều cách - Nguyễn Thành Long

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

1

(MỘT PHƯƠNG PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH)

Gửi tặng: www.toanmath.com

Bỉm sơn. 13.03.2011

Tải thêm tài liệu môn Toán THPT tại:

+ Trang web: www.toanmath.com + Fanpage: www.facebook.com/toanmath + Groups: https://www.facebook.com/groups/toanmath

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

2

GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH (Một phương pháp nhằm phát triển tư duy)

I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau:

3 3

2 0 1 x I dx x   

Giải: Cách 1: Phương pháp biến đối số Đặt   2 tan 1 tan x t dx t dt    

Đổi cận 3 3 0 0

t x x t

              Khi đó

   

3 3 3 3 3 2 2

0 0 0 0 tan tan tan 1 1 tan tan 1 tan I tdt t t dt t t dt tdt

   

         

    2 3 3

0 0

cos tan 3 tan tan ln cos ln 2 3 cos 2 2 0

d t t td t t t

               

Nhận xét: Đối với tích phân dạng    2 2 , , I R u u a du u u x



     thì ta có thể đặt tan u a t 

Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần

Đặt  

2

2

2

2

ln 1 1 2

du xdx u x x xdx dv v x

               

Khi đó       

3 3 2 2 2 2 2

0 0

1 1 3 ln 1 ln 1 3ln 2 ln 1 1 2 2 0

J

I x x x x dx x d x           

Tính   

3 2 2

0

ln 1 1 J x d x    

Đặt  

 

  2 2

2 2 2

1 ln 1

1 1 1

d x u x du x dv d x v x

                  

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

3

Khi đó      

3 2 2 2

0

1 3 3 3ln 2 1 ln 1 1 ln 2 2 2 0 I x x d x                 

Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì

Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng 



  

'

n n P x f x Q x I dx dx Q x Q x     thì

Đặt



 

'

n

u f x

du Q x v dv dx Q x

           Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số

Nhận xét: Ta có 3 2. x x x  và  

' 2 1 2 x x   từ đó ta định hướng giải như sau

Phân tích

3 3 3 2

2 2 0 0 1 1 x x x I dx dx x x      

Đặt

2

2

1 1

2

x t t x dt xdx

      

Đổi cận 4 3

1 0

t x t x

           

Khi đó    

4 4

1 1

1 4 1 1 1 1 3 1 ln ln 2 1 2 2 2 2

t I dt dt t t t t

               

Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân

       

     

2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0

2 3 3 2 2 2 2 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1

1 1 3 3 3 1 ln 1 2ln 2 2 2 2 1 0 0

x x I d x d x d x x x x

d x x d x x x

                  

         

  

 

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn

   

2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0

1 1 3 1 3 3 3 ln 1 ln 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0

d x x x x I dx x dx x x x x

                      

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có   3 2 1 x x x x   

Khi đó    

2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0

1 1 3 1 3 3 3 ln 1 ln 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0

d x x x x I dx x dx x x x x

                      