Phân dạng các bài toán tích phân - Phạm Minh Tứ

TÍCH PHÂN I. Khái niệm tích phân 1. Diện tích hình thang cong .

• Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong

• Từ đó suy ra công thức : ( ) ( ) ( )

0

0 0 0 lim x x S x S x f x x x → − = − 2. Định nghĩa tích phân

• Cho hàm f liên túc trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số : F(b)-F(a) được gọi là tích phân

của f đi từ a đến b , ký hiệu là : ( )

b

a f x dx ∫

• Có nghĩa là : ( ) ( ) ( )

b

a f x dx F b F a = − ∫

• Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) và ( ) ( ) ( ) b F x F b F a a = − thì :

( ) ( ) ( ) ( )

b

a

b f x dx F x F b F a a = = − ∫

• Trong đó : - a : là cận trên , b là cận dưới - f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân - dx : gọi là vi phân của đối số -f(x)dx : Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân II. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K , a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có :

1. ( ) 0

a

a f x dx = ∫

2. ( ) ( )

b a

a b f x dx f x dx = − ∫ ∫ . ( Gọi là tích chất đổi cận )

3. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫

4. [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ . ( Tích phân củ một tổng hoặc hiệu hai tích

phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ) .

5. ( ) . ( )

b b

a a kf x dx k f x dx = ∫ ∫ . ( Hằng số k trong dấu tích phân , có thể đưa ra ngoài dấu

tích phân được ) Ngoài 5 tính chất trên , người ta còn chứng minh được một số tính chất khác như :

6 . Nếu f(x) [ ] 0 ; x a b ≥∀∈ thì : [ ] ( ) 0 ;

b

a f x dx x a b ≥∀∈ ∫

7. Nếu : [ ] ; : ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a x a b f x g x f x dx g x dx ∀∈ ≥ ⇒ ≥ ∫ ∫ . ( Bất đẳng thức trong tích

phân )

8. Nếu : [ ] ; x a b ∀∈ và với hai số M,N ta luôn có : ( ) M f x N ≤ ≤ . Thì :

( ) ( ) ( )

b

a M b a f x dx N b a − ≤ ≤ − ∫ . ( Tính chất giá trị trung bình của tích phân )

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

A. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp này , chúng ta cẩn :

• Kỹ năng : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương của nhiều hàm số khác , mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng . • Kiến thức : Như đã trình bày trong phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc các kiến thức về Vi phân , các công thức về phép toán lũy thừa , phép toán căn bậc n của một số và biểu diễn chúng dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ . 2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

a/ ( ) 4 2

2 1

2 1 1

1

x x dx x

−+

+ ∫ b/

( )

1 2

3 0 1

x dx x + ∫

c/ ( ) ( )

3

1

2 2 ln 1

2 1

x x x x dx x x

− + +

+ ∫ d/

2 3 2

4 2 2

1 2 1 x x x dx x x + − + − + ∫

Giải

a/ ( ) 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 1 1 1

2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1

x x x x x x x dx dx x x dx x x x x

−+     − + = + = −+       + + + +     ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

2 2 1 3 1 1 1 1 1 5 2 1 1 2 2 x d x d x x x ⇒ − − + + = − + + = + − ∫ ∫

b/

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 1 1 1 1 2

3 3 3 3 3 2 3 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

x x x x dx dx dx dx x x x x x x x x

    + − + + = = − + = − +     + + + + + + + +         ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

2 3 2 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 ln 1 2 ln 2 0 0 0 1 1 2 8 1 1 1

d x d x d x I x x x x x x

+ + + ⇒ = − + = + + − = + + + + + + ∫ ∫ ∫

c/

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

1 1 1

2 2 ln 1 ln 1 ln 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2

x x x x x x x dx dx x dx x x x x x x x

    − + + + + −     = + = − +     + + + +     ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 2

1 1

ln 1 3 3 2 1 1 ln 1 1 1 3 1

x I x dx d x x x x x

+   ⇒ = − + + = − + + =   +   ∫ ∫

( ) 2 2 2 3 4 ln 1 3 ln 2 = − + + −

d/ ( )

( ) ( )

3 2 2 2 2 3 2

2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2

4 1 1 1 2 2 1 4 2 1 1 1

x x dx x x x dx dx dx x x x x x x

  − + − +   = + + − + − + −   −   ∫ ∫ ∫ ∫