Sử dụng tính chất của đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC

Chuyên đề: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÍNH

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Nội dung các dạng toán xoay quanh bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng với giả

thiết bài toán cho bởi đồ thị hàm liên quan.

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích.

Dạng 2. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến công thức tính.

Dạng 3. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính.

Dạng 4. Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính.

Dạng 5. Biến đổi đồ thị đưa về tính toán đơn giản.

Dạng 6. Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình.

Dạng 7. Toán thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan.

NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC

II. BÀI TẬP MINH HỌA 1) Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích.

Câu 1: (Đề THPT QG 2019) Cho hàm số  y f x  liên tục trên .  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường , 0, 1 y f x y x    và 5 x  (như hình vẽ bên).

y=f(x)

y

x O 5 1 -1

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

1 5

1 1 ( )d ( )d S f x x f x x

     . B.

1 5

1 1 ( )d ( )d S f x x f x x

     .

C.

1 5

1 1 ( )d ( )d S f x x f x x

     . D.

1 5

1 1 ( )d ( )d S f x x f x x

     .

Lời giải Chọn C

Ta có   

1 5 1 5

1 1 1 1 ( ) d d d d S f x x f x x f x x f x x

          .

Câu 2: Cho đồ thị hàm số ( ) y f x  trên 0;8      như hình vẽ.

(S2)

(S1) (S3)

y

x O 8 5 3

3

Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất?

A.

1

0

( ) f x dx  . B.

3

0

( ) f x dx  . C.

5

0

( ) f x dx  . D.

8

0

( ) f x dx  .

Lời giải

Chọn D

NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3

NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC

Dễ thấy 3 2 S S  . Mà

3 5 8

1 2 3 0 3 5 ( ), ( ), ( ) S f x S f x S f x       , nên

8

1 2 3 0

( ) f x dx S S S     lớn

nhất.

Câu 3: Cho hàm số  y f x  liên tục trên  có đồ thị tạo với trục hoành các miền có diện tích 1 2 3 4 , , , S S S S

như hình vẽ. Biết 1 4 2 3 2 13 ; 3 384 S S S S     , tích phân 

1

1

2 2 x x I f dx

  bằng

y=f(x)

S2 S3

S4

S1

2 1

2 1 -1

y

x

O

A. 2 . 3ln2 I  B. 47 . 64 I  C. 2 . 3 I  D. 81 . 128 ln2 I 

Lời giải

Chọn D

Đặt 2 2 ln2 ln2

x x dt t dt dx dx t     

Đổi cận: 1 1 2 x t   ; 1 2 x t   

     

1 2 1 2

3 4 1 1/2 1/2 1

1 1 1 81 2 2 ln2 ln2 ln2 128ln2

x x I f dx f t dt f t dt f t dt S S



                       .

Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau đây?

NHÓM TOÁN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4

NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC

2

y

x O -1

A.

2

4 2

1

1 3 4 d 2 2 x x x x



               . B.

2

4 2

1

1 3 1 d 2 2 x x x x



               .

C.

2

4 2

1

1 3 1 d 2 2 x x x x



              . D.

2

4 2

1

1 3 4 d 2 2 x x x x



               .

Lời giải

Chọn B

Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm

số:  3 3 2 2 y f x x    ; 

4 2 1 5 2 2 y g x x x    

và hai đường thẳng 1; 2 x x   .

Ngoài ra ta thấy đường  y f x  nằm trên đường  y g x  trên đoạn 1;2       nên ta có diện tích

phần gạch chéo trên hình vẽ là:

2

4 2

1

3 3 1 5 d 2 2 2 2 S x x x x



                                       

2

4 2

1

1 3 1 d 2 2 x x x x



               …