Các dạng bài tập VDC ứng dụng của tích phân

BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN

A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Định lý 1: Cho hàm số ( ) y f x  liên tục, không âm trên  ;a b . Khi đó diện tích S của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục hoành và 2 đường thẳng , x a x b   là: ( )

b

a S f x dx 

2. Bài toán liên quan

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ;a b , trục

hoành và hai đường thẳng x a  , x b  được xác định: ( )

b

a S f x dx 

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , ( ) y g x  liên tục trên đoạn

  ;a b và hai đường thẳng x a  , x b  được xác định: ( ) ( )

b

a S f x g x dx   

Chú ý: Nếu trên đoạn [ ; ] a b , hàm số ( ) f x không đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a f x dx f x dx   

Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) x g y  , ( ) x h y  và hai đường thẳng

y c  , y d  được xác định: ( ) ( )

d

c S g y h y dy   

Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị 1 1 ( ): ( ) C f x , 2 2 ( ): ( ) C f x là:

2

1 ( ) ( )   

x

x S f x g x dx . Trong đó: 1 2 , x x tương ứng là nghiệm của phương trình   1 2 ( ) ( ),   f x g x x x

II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY

         

1 1

2 2

( ) : ( )

( ) : ( ) ( )

C y f x

C y f x H x a

x b

1 ( ) C

2 ( ) C

  

b

a S f x f x dx 1 2 ( ) ( ) a 1c

y

O b x 2c

1. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; ( ) S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,

( ) a x b   . Giả sử ( ) S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b .

2. Thể tích khối tròn xoay

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng x a  , x b  quanh trục Ox:

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) x g y  , trục hoành và hai đường thẳng y c  , y d  quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ) y f x  , ( ) y g x  và hai đường thẳng x a  , x b  quanh trục Ox:

2 2 ( ) ( )

b

a V f x g x dx     .

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích giới hạn bởi 1 đồ thị

1. Phương pháp:

a/ Phương pháp 1:

| ( ) | b

a S f x dx 

* Xét dấu biểu thức ( ) f x ; [ ; ] x a b  , phá dấu trị tuyệt đối và tính tích phân.

b/ Phương pháp 2:

* Giải phương trình ( ) 0 f x  ; chọn nghiệm trong [ ; ] a b . Giả sử các nghiệm là ; với    .

* Áp dụng tính chất liên tục của hàm số ( ) f x trên [ ; ] a b ; ta có:

| ( )d | | ( )d | | ( )d | b a S f x x f x x f x x       

2. Các Bài tập mẫu:

Bài tập 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 y x  , trục hoành và đường thẳng

x 2  .

A. 8 S . 9  B. 16 S . 3  C. S 16.  D. 8 S . 3 

Hướng dẫn giải

CHỌN D

Nhận thấy rằng, để tính diện tích ta cần phải tìm được 2 cận. Để tìm thêm cận còn lại ta giải phương

trình hoành độ giao điểm của đồ thị  2 P : y x  với trục hoành.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  2 P : y x  với trục hoành: 2 x 0 x 0   

Áp dụng công thức ta có

2 2

0

8 S x dx . 3   

Nhận xét: Nếu ta vẽ đồ thị hàm số 2 y x  và đường thẳng x 2  ta dễ dàng xác định được hình

phẳng giới hạn bởi các đường này. Từ đó ta dễ dàng tính được diện tích S.

Bài tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2 x y x .e  , trục hoành và đường

thẳng x 1 

A. e 2.  B. 2 e.  C. 2 e.  D. 1.

Hướng dẫn giải

CHỌN A

Phương trình hoành độ giao điểm 2 x x e 0 x 0   

Ta có:

   

 

1 1 1 1 2 x 2 x 2 x x 2

0 0 0 0

1 1 1 1 x x x x

0 0 0 0

S x e dx x d e x e e d x

e 2 xe dx e 2 xd e e 2xe 2 e dx

   

      

  

  