Ứng dụng tích phân trong bài toán diện tích hình phẳng với dữ kiện toán thực tế

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định lí: Cho hàm số  y f x  liên tục, không âm trên đoạn   ;a b . Khi đó diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  y f x  , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b   là

d .

b

a S f x x 

2. Bài toán 1. Cho hàm số  y f x  liên tục trên đoạn   ;a b . Khi đó diện tích S của hình phẳng  D

giới hạn bởi đồ thị hàm số  y f x  ; trục hoành Ox ( 0 y ) và hai đường thẳng ; x a x b   là

d

b

a S f x x  .

3. Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị  y f x  ;  y g x  và hai đường đường

thẳng ; x a x b   là  d . b

a S f x g x x   

 Lưu ý:

1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

Giải phương trình   f x g x  tìm nghiệm   1 2 , ,..., ; n x x x a b    1 2 ... n x x x    .

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

TRONG BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ

Tính    

1 2

1 d d x x

a x S f x g x x f x g x x          ... d

n

b

x f x g x x   

       

1 d ... d

n

x b

a x f x g x x f x g x x        .

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

 y f x  ;  y g x  .

Khi đó, ta có công thức tính như sau  

1

d

n x

x S f x g x x    .

Trong đó 1x và nx tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình   f x g x  .

B. BÀI TẬP

1. NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM PARABOL

Phương pháp

Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ, xác định parabol.

Bước 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  y f x  và các đường được cho

trong bài toán.

Bước 3. Tùy theo thực tế mỗi bài, tính diện tích theo yêu cầu.

Chú ý: Mấu chốt của vấn đề tính diện tích parabol nằm ở khâu chọn hệ trục tọa độ phù hợp.

Nên chọn hệ trục sao cho đỉnh parabol luôn nằm trùng với gốc O hoặc nằm trên trục Oy . Khi

đó hàm số parabol luôn có dạng 2 y ax b   .

Câu 1. Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho

vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m .

Hướng dẫn giải

Định hướng: Ở bài toán này, bản chất chỉ là việc xác định được đồ thị hàm parabol thõa mãn

với vòm cửa, sau đó tính diện tích.

CÁC BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH

PARABOL ĐƠN THUẦN

DẠNG 1

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Vòm cửa là đồ thị của hàm số parabol có dạng:

2 y ax b   .  P

Theo đề ra:

   4;8 P  nên 8 16a b   . (1)

   0;0 P  nên 0 0a b   . (2)

Từ (1) và (2) suy ra parabol có dạng

2 1 2 y x  .

Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các đường

2 1 , 8 2 y x y   .

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

2 4 1 8 4 2

x x x

     .

Diện tích vòm cửa là

4 2

4

1 8 d 2 S x x



        

4 3

4

1 128 8 . 6 3 x x



        

Câu 2. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều

rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác

Năm phải trả.

Hướng dẫn giải

Định hướng: Bài toán trên hoàn toàn tương tự ví dụ 1. Bản chất của bài toán là tính diện tích

phần hình phẳng và đồ thị hàm số parabol.

Cách 1:

 Gắn parabol  P và hệ trục tọa độ sao cho  P đi qua (0;0) O

 Gọi phương trình của parbol là (P):

2 : P y ax bx c   

Theo đề ra,  P đi qua ba điểm (0;0) O , (3;0) A , (1,5;2,25) B .

Từ đó, suy ra 

2 : 3 P y x x  

 Diện tích phần Bác Năm xây dựng:

3 2

0

9 3 2 S x x dx     

 Vậy số tiền bác Năm phải trả là: 1500000 675 0 9 . 2 000  (đồng).

Cách 2:

x

y

A

B

O