Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích vật thể với dữ kiện toán thực tế

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; ( ) S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( ) a x b   . Giả sử ( ) S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b .

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( )

b

a V S x dx 

2. Thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng x a  , x b  quanh trục Ox:

 Lưu ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) x g y  , trục hoành và hai đường thẳng y c  , y d  quanh trục Oy:

c

y

O

d

x

( ): ( ) ( ):

       

C x g y Oy x 0

y c y d

 

2 ( )  

d

y c V g y dy

( ): ( ) ( ):

       

C y f x Ox y 0

x a x b

 

2 ( )  

b

x a V f x dx a

 ( ) y f x

y

O b x

( ) 

b

a

S x dx V x O

a b

( ) V

S(x)

x

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x  , ( ) y g x  và hai đường thẳng x a  , x b  quanh trục Ox:

2 2 ( ) ( )

b

a V f x g x dx    

B. BÀI TẬP

Câu 1. Một Elip có phương trình

2 2

1. 9 4   x y Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh

trục Ox .

Lời giải

Ta có:

2 2 2 1 2 1 . 9 4 9     x y x y

Elip đối xứng qua trục Ox nên ta chỉ cần xét hàm số

2 2 1 9  x y khi quay quanh . Ox

Phương trình hoành độ giao điểm của

2 2 1 9  x y và trục : Ox

2 2 1 0 3. 9 x x    

Thể tích cần tính:

3 2

3

4 1 16 50,24 9  



           x V dx

Câu 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

0, ln( 1)    y y x x và 1 x  xung quanh trục . Ox

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm:  

0 ln( 1) 0 0 ln 1 0

          

x x x x x

Ta có:    

1 2

0

ln 1 12ln 2 5 18        V x x dx

Câu 3. Người ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ.

Nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 32 và  30   BAC . Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng   H (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB .

Lời giải

Dựng hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.

Ta có 2 1 32 64 8 4 2 2            R S R R r

  

   

2

2

: 64 8

: 16 4

           

C y x

C y x

 30   BAC PT AC : .tan30

3   x y x y .

Vậy        

12 16 8 2 2 2

6 12 6

784 dx 64 8 dx 16 4 dx 3 3                    x V x x .

Câu 4. Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy.

Tính thể tích của khối dầu còn lại trong bồn.

Lời giải

Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là: 2 2 3 1 .1 .5 5 .       V r h m

Chọn hệ tục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ gắn với tâm của mặt đáy.

Đường tròn đáy có bán kính bằng 1 nên có phương trình 2 2 1   x y . Suy ra 2 1   y x .