Chuyên đề trắc nghiệm các công thức cơ bản về tích phân

CHỦ ĐỀ 7: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Khái niệm hình thang cong

Cho hàm số ( ) y f x = liên tục, không đổi dấu trên đoạn [ ] ;a b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm

số ( ) y f x = , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b = = được gọi là hình thang cong.

2. Tích phân là gì?

Định nghĩa: Cho ( ) f x là hàm số liên tục trên đoạn [ ] ;a b . Giả sử F( ) x là một nguyên hàm của ( ) f x trên

đoạn [ ] ;a b . Hiệu số ( ) ( ) F b F a − được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn

[ ] ;a b ) của hàm số ( ) f x , kí hiệu là ( )

b

a f x dx ∫ .

Ta còn dùng kí hiệu ( )

b

a F x để chỉ hiệu số ( ) ( ) F b F a −

Vậy ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a f x dx F b F a F x = = − ∫

Ta gọi

b

a∫là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, ( ) f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân và ( ) f x là

hàm số dưới dấu tích phân.

 Chú ý: Trong trường hợp a b = hoặc a b > , ta quy ước ( ) 0 = ∫

a

a f x dx ; ( ) ( )

b a

a b f x dx f x dx = − ∫ ∫

 Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )

b

a f x dx ∫ hay ( )

b

a f t dt ∫ . Tích phân

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.

Tức là: ( ) ( ) ( )

b b b

a a a f x dx f t dt f u du = = ∫ ∫ ∫

 Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số ( ) f x liên tục và không âm trên đoạn [ ] ;a b , thì tích phân ( )

b

a f x dx ∫ là diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị của ( ) f x , trục Ox và hai đường thẳng , x a x b = = .

Vậy ( )

b

a S f x dx = ∫

- Tính chất 1: ( ) ( )

b b

a a kf x dx k f x dx = ∫ ∫ (với k là hằng số)

- Tính chất 2: ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx   ± = ±   ∫ ∫ ∫

- Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( )

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx a c b = + < < ∫ ∫ ∫

Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1

1 2 ... ...

n

c c b b

n a a c c f x dx f x dx f x dx f x dx a c c c b = + + < < < < < ∫ ∫ ∫ ∫

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ 1: Tích các tích phân sau:

A.

1 2

0 2 I x x dx = − ∫ B.

2 2

2 1

3 1 + + = + ∫ x x I dx x x C. ( )

1 3 1

0

x I x e dx − = + ∫ D.

2

0

sin 1 cos

π

= + ∫ x I dx x

Lời giải

a) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

1 1 1 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 3 I x d x x d x x = − − − = − − − = − − ∫ ∫

( )

1 3 2

0

1 2 2 1 2 3 3 x − = − − =

b) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

3 1 2 1 5 1 ln 1 ln 3

+ + + + + = = + = + = + + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ d x x x x x x x I dx dx dx dx dx x x x x x x x x x x

c) ( )

1 1 2 3 1 2 3 1

0 0

1 1 2 3 2 3 3

x x x e e I x e dx e

− −   = + = + = + −     ∫

d) ( ) 2 2 2 0 0 0

d cos sin ln 1 cos ln 2 1 cos 1 cos

π π π = = − = − + = + + ∫ ∫ x x I dx x x x

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

A.

2

1 3 dx I x x = + + ∫ B. ( )

ln2 2

0 1 x x I e e dx = − ∫

C.

3 2

0 1 I x x dx = + ∫ D. ( )

3 2

0 3 16 I x x x dx = + + ∫

Lời giải

a) ( ) ( )( )

2 2 2

1 1 1

3 3 3 3 3 3

x x dx dx x x I dx x x x x x x

+ − + − = = = + + + + + − ∫ ∫ ∫