Phương trình Mũ và Logarit - Đặng Thành Nam

Chuyên đề 6:Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

402 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 6:

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

PT-HPT MŨ, LOGRARIT

404 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số mũ (0 1) x y a a    Hàm số logarit log (0 1, 0) a y x a x     + Các công thức lũy thừa Với , 0; , a b m n   ta có

 

m n m n

n m mn a a a

a a

 



 

m m m ab a b 

m

m n n a a a

 

m

n m n a a  + Các công thức biến đổi logarit

  log 0 1, 0 c a b c a b a b      

Với 1 2 0 , 1; , , a b x x     ta có   1 2 1 2 log log log a a a x x x x  

1

1 2 2 log log log a a a x x x x       

log log a a x x   

loga x a x 

1 log loga a x x   

1 log log a

b b a 

Công thức đổi cơ số

log log log

b a

b

x x a 

Giải phương trình mũ Đưa về cùng cơ số

( ) ( ) 0 1 ( ) ( )

f x g x a a a f x g x       

PT-HPT MŨ, LOGRARIT

405 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

( )

0 1 0

( ) log

f x

a

a a b b

f x b

          

+ Nếu ( ) a a x  là hàm phụ thuộc vào biến x thì rõ ràng 1 a  cũng có thể là nghiệm Khi đó phương trình tương đương với

  

( ) ( ) 0

1 ( ) ( ) 0

f x g x a a a a f x g x

       

+ Lấy logarit hóa 2 vế

( ) ( ) ( ).log ( ).log f x g x

c c a b f x a g x b    mục đích là làm xuất hiện nhân tử chung ở cả ( ) f x và ( ). g x Bất phương trình mũ – logarit

Dạng 1:   

( ) ( ) 0

1 ( ) ( ) 0

f x g x a a a a f x g x

       

Dạng 2:

  

0 1

log ( ) log ( ) ( ) 0, ( ) 0

1 ( ) ( ) 0

a a

a

f x g x f x g x

a f x g x

            

Lưu ý: Điều kiện với hàm ( ) log ( ) f x g x là 0 ( ) 1 ( ) 0 f x g x

     

BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình : 1 1

1

1 2 .4 . 16 8

x x x x  

 .

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với

 

 

2 1 1 4 6 4 4 3 1

1 2 .2 . 2 2 2 6 4 4 2. 2

x x x x x x x x x            

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2. x 

Bài 2. Giải phương trình:  

2 1 7 1 8 0,25 2 .

x x x

 

Lời giải: + Điều kiện 1. x 

PT-HPT MŨ, LOGRARIT

406 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Khi đó phương trình tương đương với

      3 2 1 3 2 1 7 7 2 2 1 1 2 2 3 2 1 7 2 2 .2 2 2 2 1 2

x x x x x x x x x

             

2

1 7 9 2 0 2 7

x x x x

        

Vậy phương trình có 2 nghiệm là 2 ;1 . 7 x      

Bài 3. Giải phương trình:  

3 log 1 2 2. 2

x x x x          

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với

3 log 3

2 2 2 0

2 2 2 0

2 log 0 1 1 1 3 1 1 2 2 2

x

x x x

x x x

x x x x x x

                                                                      

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2. x 

Bài 4. Giải phương trình:    

3 1 1 3 10 3 10 3 .

x x x x       

Lời giải:

+ Điều kiện 1

3 x x

   

Do 1 10 3

10 3 



, nên phương trình đã cho tương với

   

3 1

2 2 1 3 3 1 10 3 10 3 1 9 1 3

x x x x x x x x x x

               

2 5 5. x x    

Vậy phương trình có 2 nghiệm là 5. x 

Bài 5. Giải phương trình:  

2 1 1 3 2 2 2 4.

x x x

          

Lời giải: + Điều kiện 0 1 x   Khi đó phương trình tương đương với