Chuyên đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit - Cao Tuấn

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

1

Chuyên đề 2: Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số logarit

LŨY THỪA. HÀM SỐ LŨY THỪA

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. LŨY THỪA 1. Lũy thừa với số mũ nguyên

a) Định nghĩa

Cho * n và a . Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a: . ...... ˆ ' .. n

n s a a o a a a 

Trong đó: a gọi là cơ số và n là số mũ.

Với 0 a  thì

0 1

1 n n

a

a a



    

(Chú ý là 0 0 và 0 n không có nghĩa).

b) Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên

Định lí 1: Cho 0 a  , 0 b  và , m n , ta có:

+) . m n m n a a a   +)

m m n n a a a

 

+)   . n m m n a a  +)   . . n n n a b a b  +)

n n

n a a b b       Định lí 2 [Tính chất bất đẳng thức]: Cho , m n . Khi đó:  Với 1 a  thì m n a a m n    .  Với 0 1 a   thì m n a a m n    . Hệ quả 1: Với 0 a b  , n thì:  0. n n a b n     0. n n a b n    Hệ quả 2: Với n là số tự nhiên lẻ thì . n n a b a b    2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Căn bậc n

Định nghĩa: Cho a và * n , ta có: b là căn bậc n của a n b a   . Nhận xét:

 Nếu a thì a có duy nhất một căn bậc n lẻ là n a .

 Nếu 0 a  thì a có đúng 2 căn bậc n chẵn là n a và n a  (trong đó 0 n a  và

0 n a   ). Tính chất: Cho , 0 a b  , * , m n và ,p q . Khi đó:

 . n n n ab a b 

n n n a a b b  ,   0 b 

  

p n p n a a  ,   0 a 

m n mn a a 

 Nếu p q n m  thì

n m p q a a  ,   0 a  . Đặc biệt . mn m n a a 

1 CHỦ ĐỀ

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

2

Cao Tuấn – 0975306275 Số 135A/ Ngõ 189/ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN

Chú ý:

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a b  thì . n n a b 

 Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 a b   thì . n n a b  b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Định nghĩa: Cho a là một số thực dương, r là một số hữu tỉ có dạng m r n  , trong đó

* , m n   . Lũy thừa của a với số mũ r là số xác định bởi:

m n r m n a a a  

Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. 3. Lũy thừa với số mũ thực

a) Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực

Cho 0 a  là một số thực dương và  là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ 1 2 , ,.... ,... n r r r mà lim nr   . Khi đó người ta chứng minh được rằng dãy

số thực 1 2 , ,.... ,... nr r r a a a có giới hạn xác định.

Ta gọi giới hạn đó là lũy thừa của a với số mũ , kí hiệu là a. Vậy lim . nr

x a a

 

b) Công thức lãi kép

Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi của kì trước. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất % r /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).

 Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là   1 . n A r 

 Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là     1 1 1 . n n A r A A r           

Ví dụ: Ông Tuấn gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.

Lời giải: Số tiền lãi ông Tuấn thu về sau 10 năm là:

    10 1 100 1 0,08 1 115,892 . n A r A tr tr             

GHI NHỚ (về cơ số của luỹ thừa 0)

 Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.  Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

II. HÀM SỐ LŨY THỪA 1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Định nghĩa: Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng y x  , trong đó là một hằng số tuỳ ý.

Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta có:

Hàm số Số mũ lũy thừa Tập xác định y x  nguyên dương D 

y x  nguyên âm hoặc 0 n   \ 0 D 

y x  không nguyên   0; D  

Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.